Numeri diversi, stesso punto sulla retta
1/2, 2/4, 4/8, 50/100. Quattro scritture che sembrano quattro numeri diversi, e invece sono lo stesso numero: mezzo.
È l’idea che rende le frazioni diverse da tutto quello che hai incontrato prima. Un numero intero ha una scrittura sola: il 7 si scrive 7 e basta. Una frazione no: ha infinite scritture, tutte ugualmente corrette, e sta a te scegliere quella che ti conviene in quel momento.
Sulla retta dei numeri lo vedi bene: 1/2, 2/4 e 4/8 non sono tre punti vicini, sono esattamente lo stesso punto. Cambia solo quanto finemente hai tagliato l’intero prima di contare le parti.
Quando hai capito questo, semplificare e trovare il denominatore comune smettono di essere due regole da imparare e diventano due modi di usare la stessa libertà.
Che cosa sono le frazioni equivalenti
Due o più frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano la stessa parte di uno stesso intero, pur avendo numeratore e denominatore diversi.
Prendi lo stesso rettangolo e dividilo in 2 parti colorandone 1, poi in 4 parti colorandone 2, poi in 8 colorandone 4: la superficie colorata è sempre identica.
C’è anche una prova numerica che non lascia dubbi: esegui la divisione. 1 : 2 = 0,5, e anche 2 : 4 = 0,5 e 4 : 8 = 0,5. Stesso risultato, stesso numero.
Perché il valore non cambia
Ecco la domanda che quasi nessuno fa, e che invece rende tutto ovvio: perché moltiplicando sopra e sotto la frazione resta la stessa?
Guarda cosa stai facendo davvero quando passi da 2/3 a 4/6:
2/3 × 2/2 = 4/6
Hai moltiplicato per 2/2. E 2/2 quanto vale? Vale 1. Stai moltiplicando per 1, e moltiplicare per 1 non cambia mai niente: 7 × 1 fa 7, e 2/3 × 1 fa 2/3.
Lo stesso vale con 3/3, con 5/5, con 100/100: sono tutte scritture del numero 1 travestite da frazione. Ecco perché la regola funziona sempre, e perché deve valere contemporaneamente sopra e sotto: se moltiplichi solo il numeratore non stai moltiplicando per 1, stai moltiplicando per 2, e il numero cambia davvero.
La proprietà invariantiva
La regola ha un nome ufficiale: proprietà invariantiva.
Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero, diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente.
“Invariantiva” viene da invariato: cambiano i numeri, il valore resta fermo. E l’esclusione dello zero non è un capriccio: se moltiplicassi entrambi i termini per 0 otterresti 0/0, che non è una frazione ma un non senso, perché il denominatore non può mai essere zero.
Le due direzioni: allargare e ridurre
La proprietà si usa nei due versi, e ciascuno serve a qualcosa di diverso.
Moltiplicando ottieni numeri più grandi: da 2/3 passi a 4/6, 6/9, 8/12. Ti serve quando devi portare due frazioni allo stesso denominatore, per poterle confrontare o sommare.
Dividendo ottieni numeri più piccoli: da 12/18 passi a 6/9 e poi a 2/3. È esattamente quello che si chiama semplificare una frazione, e serve a dare il risultato nella forma più pulita possibile.
La differenza fra le due direzioni: moltiplicare si può sempre, dividere solo quando i due termini hanno un divisore in comune. Per questo la semplificazione a un certo punto si ferma, mentre l’elenco delle equivalenti verso l’alto è infinito.
Ogni numero intero è una frazione
Le frazioni equivalenti fanno anche un’altra cosa utile: mostrano che ogni numero intero è già una frazione, solo che non ce ne accorgiamo.
4 = 4/1 = 8/2 = 12/3 = 20/5
In ognuna di queste scritture il numeratore è un multiplo del denominatore, quindi la divisione è esatta e dà sempre 4. Sono le frazioni apparenti.
La più comoda è 4/1, e ti tornerà utile prima di quanto pensi: quando dovrai moltiplicare o dividere un numero intero per una frazione, la prima mossa sarà proprio scriverlo con l’1 sotto.
Se ti blocchi: controlla se il salto è lo stesso sopra e sotto
Per capire se due frazioni sono equivalenti non serve disegnare niente. Guarda come si passa dal numeratore dell’una a quello dell’altra, e poi controlla se sotto è successa la stessa cosa.
Da 3/5 a 12/20: sopra hai moltiplicato per 4, sotto hai moltiplicato per 4. Stesso salto, quindi sono equivalenti.
Da 3/5 a 12/15: sopra per 4, sotto per 3. Salti diversi, quindi non sono equivalenti.
Se i numeri sono scomodi, c’è la strada sicura: esegui le due divisioni e confronta i risultati. Due frazioni equivalenti danno sempre lo stesso decimale, senza eccezioni.
✎ Esercizio svolto
Scrivi tre frazioni equivalenti a 2/5 e verifica che valgano tutte lo stesso numero.
- Moltiplica entrambi i termini per 2 (2 · 2)/(5 · 2) = 4/10. Ho moltiplicato sopra e sotto per lo stesso numero, quindi il valore non cambia.
- Ripeti con 3 e con 4 (2 · 3)/(5 · 3) = 6/15 e (2 · 4)/(5 · 4) = 8/20.
- Verifica con la divisione 2 : 5 = 0,4, poi 4 : 10 = 0,4, 6 : 15 = 0,4 e 8 : 20 = 0,4. Tutte danno lo stesso numero.
- Nota che sono infinite Si può continuare con qualunque moltiplicatore: le frazioni equivalenti a 2/5 non finiscono mai.
Soluzione: 2/5 = 4/10 = 6/15 = 8/20, e tutte valgono 0,4.
▶ Lo vedi nel gioco
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Domande frequenti
Cosa sono le frazioni equivalenti?
Sono frazioni scritte con numeri diversi che valgono la stessa quantità, come 1/2, 2/4 e 4/8: occupano tutte lo stesso punto sulla retta dei numeri.
Come si trovano le frazioni equivalenti?
Si moltiplicano oppure si dividono numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero. Da 2/5 si ottiene 4/10, 6/15, 8/20 e così via.
Cos'è la proprietà invariantiva delle frazioni?
È la regola per cui moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero diverso da zero il valore resta invariato.
Perché moltiplicando sopra e sotto la frazione non cambia?
Perché stai moltiplicando per una frazione che vale 1, come 2/2 o 3/3, e moltiplicare per 1 lascia ogni numero com'è.
Perché il numero per cui si moltiplica non può essere zero?
Perché il denominatore diventerebbe zero, e una divisione per zero non ha risultato. La frazione perderebbe senso.
Un numero intero si può scrivere come frazione?
Sì. Il 4 si può scrivere 4/1, 8/2, 12/3 o 20/5: sono tutte frazioni apparenti equivalenti fra loro.
A cosa servono le frazioni equivalenti?
A riscrivere due frazioni con lo stesso denominatore, cosa indispensabile per confrontarle e per sommarle o sottrarle.