Tre tipi, e due parole che non sono tipi
Nella pagina del libro le cinque parole arrivano tutte insieme, una sotto l’altra: propria, impropria, apparente, complementare, inversa. Sembrano cinque caselle in cui infilare una frazione, e non è così.
Le prime tre rispondono a una sola domanda: quanto vale questa frazione rispetto a 1? Sotto, sopra, oppure esattamente un numero intero. Sono tipi veri, e ogni frazione ne prende uno.
Le ultime due non descrivono una frazione da sola: descrivono un legame fra due frazioni. Non ha senso dire “3/4 è complementare” senza aggiungere di chi. Sarebbe come dire che qualcuno è “fratello” senza dire fratello di chi.
Separa le tre dalle due e questa pagina la ricordi per sempre. Tienile in fila e le confonderai per tutto l’anno.
Il confronto che decide tutto
Tutti e tre i tipi escono da un unico gesto: guarda il numeratore, guarda il denominatore e chiediti quale dei due è più grande.
Il motivo è quello che hai già visto nella guida sulle frazioni: la linea vuol dire diviso. Se dividi un numero piccolo per uno grande ottieni meno di 1; se dividi un numero grande per uno piccolo ottieni più di 1. Il tipo di frazione è solo un nome dato al risultato di quel confronto.
Le frazioni proprie: valgono meno di 1
Una frazione è propria quando il numeratore è minore del denominatore. Prendi meno parti di quelle in cui hai diviso l’intero, quindi non arrivi mai a completarlo.
3/5, 13/25 e 1/7 sono proprie.
Sulla retta dei numeri stanno tutte fra 0 e 1, senza eccezioni. Sono anche le più facili da immaginare con il disegno della pizza, ed è il motivo per cui a scuola si incontrano per prime.
Le frazioni improprie: valgono più di 1
Una frazione è impropria quando il numeratore è maggiore del denominatore. Stai prendendo più parti di quante ne contenga un intero, quindi ti serve più di un intero.
5/4, 26/17 e 7/3 sono improprie.
Il nome è un po’ ingannevole: “impropria” suona come “sbagliata”, e invece è una frazione normalissima. 5/4 è semplicemente 1,25. Si chiama così perché non rispetta l’idea originale di frazione come parte di un intero, non perché ci sia qualcosa che non va.
Le frazioni apparenti: sono numeri interi travestiti
Una frazione è apparente quando il numeratore è uguale al denominatore o un suo multiplo. In questi casi la divisione viene esatta e il risultato è un numero intero.
4/4 vale 1, 26/13 vale 2, 21/3 vale 7.
Il nome dice esattamente cosa succede: sono frazioni solo in apparenza. Sotto quella scrittura c’è un numero intero che aspetta di essere riconosciuto.
C’è un punto che genera discussioni: 8/4 ha il numeratore maggiore del denominatore, quindi qualche libro la chiama impropria. Non è un errore, ma “apparente” è il nome più preciso, perché dice in più che la divisione è esatta. Se in verifica ti chiedono di classificare 8/4, scrivere “apparente” è sempre la risposta migliore.
Complementare e inversa: legami, non categorie
Queste due parole descrivono due frazioni messe in relazione, e infatti compaiono sempre a coppie.
La complementare è la frazione che manca per arrivare all’intero. Se hai 5/6, per completare l’intero ti serve 1/6, perché 5/6 + 1/6 = 6/6 = 1.
Ha senso solo per le frazioni proprie: se una frazione vale già più di 1, non c’è niente da completare.
L’inversa si ottiene scambiando di posto numeratore e denominatore: l’inversa di 4/7 è 7/4, e l’inversa di 7/4 è di nuovo 4/7.
Moltiplicando una frazione per la sua inversa il risultato è sempre 1, perché numeratori e denominatori si semplificano a vicenda. Non è una curiosità: è esattamente il trucco che userai nella divisione fra frazioni, dove dividere per una frazione significa moltiplicare per la sua inversa.
La tabella per decidere in due secondi
| Se il numeratore è… | La frazione è… | E vale… |
|---|---|---|
| minore del denominatore | propria | meno di 1 |
| maggiore del denominatore | impropria | più di 1 |
| uguale o multiplo del denominatore | apparente | un numero intero |
Le altre due parole non entrano in questa tabella, ed è giusto così: complementare e inversa non rispondono alla domanda “quanto vale”, ma alla domanda “che rapporto ha con quell’altra frazione”.
Se ti blocchi: chiediti solo dove cade rispetto a 1
Davanti a una frazione da classificare non cercare di ricordare le cinque definizioni. Fai una domanda sola: questa frazione sta prima o dopo l’1?
Numeratore più piccolo? Prima dell’1, quindi propria.
Numeratore più grande? Dopo l’1, quindi impropria. E a quel punto un controllo veloce in più: la divisione viene esatta? Se sì, è apparente.
Numeratore uguale al denominatore? Sei esattamente sull’1, ed è ancora apparente.
Se invece la domanda del testo nomina due frazioni, allora non ti sta chiedendo un tipo: ti sta chiedendo che legame hanno. Somma a 1 significa complementari, termini scambiati significa inverse.
✎ Esercizio svolto
Classifica le frazioni 2/9, 11/4 e 15/5, poi scrivi la frazione inversa di 2/9.
- Confronta numeratore e denominatore in 2/9 Il numeratore 2 è minore del denominatore 9, quindi la frazione vale meno di 1: è propria.
- Analizza 11/4 Il numeratore 11 è maggiore del denominatore 4 e non ne è multiplo (4 · 2 = 8 e 4 · 3 = 12): la frazione vale più di 1 ed è impropria.
- Analizza 15/5 Il numeratore 15 è un multiplo del denominatore 5, perché 15 = 5 · 3. La divisione è esatta: è una frazione apparente e vale 3.
- Scrivi l'inversa di 2/9 L'inversa non è un tipo, è una seconda frazione ottenuta scambiando i due termini: l'inversa di 2/9 è 9/2.
Soluzione: 2/9 è propria, 11/4 è impropria, 15/5 è apparente e vale 3; l'inversa di 2/9 è 9/2.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
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Domande frequenti
Qual è la differenza tra frazione propria e impropria?
La propria ha il numeratore minore del denominatore e vale meno di 1 (3/5). L'impropria ha il numeratore maggiore e vale più di 1 (5/4).
Cosa vuol dire che una frazione è apparente?
Che il numeratore è uguale o multiplo del denominatore, come 4/4 o 21/3. La divisione è esatta, quindi la frazione nasconde un numero intero: 1 e 7.
Come si classificano le frazioni?
Confrontando numeratore e denominatore: minore dà una frazione propria, maggiore una impropria, uguale o multiplo una apparente.
Una frazione apparente è anche impropria?
Dipende dal libro. 8/4 ha il numeratore maggiore del denominatore, quindi qualcuno la chiama impropria, ma siccome la divisione è esatta il nome più preciso è apparente.
Cos'è la frazione complementare?
È la frazione che manca per arrivare all'intero. La complementare di 5/6 è 1/6, perché 5/6 + 1/6 = 6/6 = 1.
Come si trova la frazione inversa?
Si scambiano numeratore e denominatore: l'inversa di 4/7 è 7/4. Il prodotto di una frazione per la sua inversa vale sempre 1.
Come faccio a sapere se una frazione vale più o meno di 1?
Basta guardare i due numeri: se sopra c'è il più piccolo vale meno di 1, se c'è il più grande vale più di 1, se sono uguali vale esattamente 1.