Qui il denominatore comune non serve
Chi arriva a questa pagina dopo aver sudato sulle addizioni fra frazioni si aspetta qualcosa di più difficile. È il contrario: moltiplicare e dividere frazioni è più facile che sommarle.
Il motivo è che le due operazioni fanno cose diverse. Sommare significa mettere insieme fette, e per contarle devono avere la stessa dimensione: da lì nasce tutta la fatica del denominatore comune. Moltiplicare invece significa prendere una parte di una parte, e in quel caso non c’è niente da uniformare: il nuovo denominatore esce da solo dal calcolo.
2/3 · 4/5 = 8/15, e basta.
Attenzione a non applicare l’abitudine sbagliata: se in una moltiplicazione ti ritrovi a cercare il m.c.m., ti stai complicando la vita per niente.
La moltiplicazione: si moltiplica in linea
Il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
2/3 · 4/5 = (2 · 4)/(3 · 5) = 8/15
Sopra con sopra, sotto con sotto. Il risultato va poi ridotto ai minimi termini quando è possibile.
Se uno dei due fattori è un numero intero, lo si scrive come frazione con denominatore 1 e si procede uguale:
3 · 2/5 = 3/1 · 2/5 = 6/5
La cosa strana: moltiplicando, il risultato rimpicciolisce
Con i numeri interi moltiplicare fa sempre crescere. Con le frazioni proprie succede il contrario, e all’inizio spiazza.
6 · 1/2 = 3
Hai moltiplicato e hai ottenuto la metà. Ma se leggi “per un mezzo” come “la metà di”, tutto torna: la metà di 6 è 3.
La regola generale: moltiplicare per una frazione minore di 1 rimpicciolisce, moltiplicare per una frazione maggiore di 1 ingrandisce. È il controllo più veloce che hai sul risultato, e ti dice subito se hai sbagliato qualcosa.
La semplificazione in croce
Prima di moltiplicare conviene semplificare: si può dividere per uno stesso numero il numeratore di una frazione e il denominatore dell’altra.
Prendiamo 3/4 · 8/9:
il 3 sopra e il 9 sotto si dividono per 3, diventando 1 e 3
l’8 sopra e il 4 sotto si dividono per 4, diventando 2 e 1
resta 1/1 · 2/3 = 2/3
Non cambia il risultato: è la stessa proprietà invariantiva applicata prima invece che dopo. Il vantaggio è enorme: senza semplificare avresti calcolato 24/36 e poi avresti dovuto ridurla; semplificando arrivi direttamente a 2/3.
Una regola da non violare: la semplificazione in croce funziona solo nella moltiplicazione. In una somma di frazioni non si può fare, mai.
La divisione: capovolgi e moltiplica
Per dividere una frazione per un’altra si capovolge la seconda (il divisore) e si trasforma la divisione in moltiplicazione.
4/9 : 8/3 = 4/9 · 3/8 = 1/6 (semplificando il 4 con l’8 e il 3 con il 9)
La frazione capovolta si chiama inversa o reciproca, e l’hai già incontrata nella classificazione delle frazioni: il prodotto di una frazione per la sua inversa vale sempre 1.
Due errori da evitare, e sono i più comuni di tutto il capitolo:
- si capovolge solo la seconda. La prima resta esattamente com’è.
- si capovolge prima di semplificare. Se semplifichi in croce mentre è ancora una divisione, semplifichi le coppie sbagliate.
Da qui in poi è una moltiplicazione normale: semplifica in croce e moltiplica in linea.
Perché capovolgere funziona
Non è una magia. Dividere per 2 è la stessa cosa che moltiplicare per 1/2: lo fai già senza pensarci quando calcoli la metà di un numero.
Con le frazioni vale lo stesso: dividere per 8/3 significa chiedersi “quante volte 8/3 sta dentro 4/9”. E chiedere quante volte ci sta un numero equivale a moltiplicare per il suo reciproco. Il capovolgimento è solo la scrittura di questa idea.
Se ti blocchi: guarda se il risultato deve crescere o calare
Prima di fidarti del numero che ti è venuto, fai questa verifica in due secondi.
Moltiplicazione. Il secondo fattore è minore di 1? Il risultato deve essere più piccolo del primo. È maggiore di 1? Deve essere più grande.
Divisione. Il divisore è minore di 1? Il risultato deve essere più grande del dividendo (dividere per mezzo raddoppia). È maggiore di 1? Deve essere più piccolo.
Nell’esercizio 4/9 : 8/3 il divisore 8/3 vale più di 2, quindi il risultato deve calare parecchio: 1/6 è più piccolo di 4/9, e il controllo passa.
Questo test non ti dice se il numero è esatto, ma smaschera subito gli errori grossi, cioè quelli che costano di più in verifica.
✎ Esercizio svolto
Calcola 4/9 : 8/3.
- Trasforma la divisione in moltiplicazione Si capovolge la seconda frazione, cioè il divisore, e si moltiplica: 4/9 : 8/3 = 4/9 · 3/8. La prima frazione non si tocca.
- Semplifica in croce Il 4 sopra e l'8 sotto si dividono per 4, diventando 1 e 2. Il 3 sopra e il 9 sotto si dividono per 3, diventando 1 e 3.
- Moltiplica quello che resta Resta 1/3 · 1/2: numeratori 1 · 1 = 1, denominatori 3 · 2 = 6.
- Controlla il risultato 1/6 è più piccolo di 4/9, ed è giusto così: dividere per 8/3, che è maggiore di 1, rimpicciolisce.
Soluzione: 4/9 : 8/3 = 1/6.
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Domande frequenti
Come si moltiplicano due frazioni?
Si moltiplica numeratore per numeratore e denominatore per denominatore: 2/3 · 4/5 = 8/15. Non serve il denominatore comune.
Perché nella moltiplicazione non serve il denominatore comune?
Perché non stai contando fette da mettere insieme: stai prendendo una parte di una parte, e il risultato ha un denominatore nuovo che nasce dal prodotto.
Cosa vuol dire semplificare in croce?
Dividere per uno stesso numero il numeratore di una frazione e il denominatore dell'altra, prima di moltiplicare, per lavorare con numeri più piccoli.
Come si divide una frazione per un'altra?
Si capovolge la seconda frazione e si moltiplica: 4/9 : 8/3 = 4/9 · 3/8.
Cos'è la frazione inversa o reciproca?
È la frazione ottenuta scambiando numeratore e denominatore: l'inversa di 8/3 è 3/8. Il prodotto di una frazione per la sua inversa vale 1.
Perché moltiplicando per una frazione il risultato diventa più piccolo?
Perché moltiplicare per un numero minore di 1 rimpicciolisce. Metà di 6 è 3, e infatti 6 · 1/2 = 3.
Come si moltiplica un numero intero per una frazione?
Si scrive l'intero come frazione con denominatore 1 e poi si procede normalmente: 3 · 2/5 = 3/1 · 2/5 = 6/5.