Non puoi sbagliare strada, solo fermarti troppo presto
Semplificare è uno dei pochi argomenti di matematica in cui non esiste una mossa sbagliata, purché tu rispetti una regola sola: dividi sempre sopra e sotto per lo stesso numero.
Puoi dividere per 2, per 3, per 6, per il M.C.D., puoi farlo in un passaggio o in cinque: il punto di arrivo è sempre lo stesso. L’unico errore possibile è fermarsi prima, cioè consegnare una frazione che si poteva ancora ridurre.
Questo cambia il modo di affrontare l’esercizio. Non devi trovare “il metodo giusto”: devi solo sapere quando hai finito. Ed è una cosa che si controlla in due secondi.
Che cosa cambia e che cosa no
Semplificare significa riscrivere una frazione con numeri più piccoli senza toccarne il valore. È l’applicazione all’indietro della proprietà invariantiva: invece di moltiplicare entrambi i termini, li dividi.
36/30 = 6/5
Sulla retta dei numeri le due frazioni non sono vicine: sono lo stesso punto, 1,2. Cambia la scrittura, non il numero. Per questo semplificare non è mai “sbagliare i conti”: è solo scegliere l’etichetta più corta per un valore che resta identico.
Riducibile o irriducibile: come capire se hai finito
Una frazione è riducibile quando numeratore e denominatore hanno almeno un divisore in comune maggiore di 1. Per esempio 36/30 è riducibile, perché entrambi sono divisibili per 2, per 3 e per 6.
Una frazione è irriducibile, o ridotta ai minimi termini, quando l’unico divisore comune rimasto è 1. Si dice anche che i due numeri sono primi fra loro.
Il controllo di fine esercizio è questo, ed è sempre lo stesso: guarda i due numeri rimasti e chiediti se esiste ancora un numero che li divide entrambi. Se non lo trovi, hai finito. In pratica bastano i criteri di divisibilità: sono entrambi pari? La somma delle cifre è multipla di 3? Finiscono entrambi per 0 o 5?
La via veloce: dividere per il M.C.D.
Il modo più rapido è dividere numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore. Siccome il M.C.D. è il più grande dei divisori comuni, dopo averlo usato non ne resta nessun altro: arrivi alla frazione irriducibile in un colpo solo.
Il M.C.D. di 36 e 30 è 6, quindi:
36/30 = (36 : 6)/(30 : 6) = 6/5
È la via che conviene quando i numeri sono grandi o quando l’esercizio ti chiede esplicitamente la frazione ridotta ai minimi termini.
La via sicura: a piccoli passi
Se il M.C.D. non ti viene in mente, non serve cercarlo a tutti i costi. Dividi per un divisore comune qualsiasi, anche il più banale, e ripeti finché puoi.
36/30 = (36 : 2)/(30 : 2) = 18/15 = (18 : 3)/(15 : 3) = 6/5
Prima per 2, poi per 3: il risultato è 6/5, esattamente lo stesso di prima. E non è un caso: le due strade arrivano sempre allo stesso punto, perché 2 × 3 = 6, cioè proprio il M.C.D. Semplificare a piccoli passi significa scomporre il M.C.D. senza calcolarlo.
Il vantaggio è che con numeri pari o multipli di 5 puoi partire subito, senza pensare. Lo svantaggio è che devi ricordarti di continuare finché la frazione non è irriducibile.
L’errore da non fare mai: cancellare le cifre
C’è un errore che a volte sembra funzionare e che invece è pura fortuna: in 16/64 cancellare il 6 sopra e il 6 sotto porta a 1/4 per pura coincidenza.
Ma prova a farlo con 12/24: cancellando il 2 verrebbe 1/4, mentre 12/24 vale 1/2! Oppure con 15/50: cancellando il 5 verrebbe 1/0, che non esiste nemmeno.
La regola vera è una sola: si divide, non si cancella. In 16/64 si divide sopra e sotto per 16 e viene 1/4. In 12/24 si divide per 12 e viene 1/2.
Lo stesso vale per l’altro errore classico, cioè dividere solo il numeratore: se tocchi un termine solo la frazione non è più equivalente, hai proprio cambiato numero.
Se ti blocchi: parti dal numero più piccolo
Quando i due numeri sono antipatici, guarda il più piccolo dei due e chiediti se divide anche l’altro.
In 18/54 il più piccolo è 18, e 54 : 18 = 3. Divisione esatta, quindi il M.C.D. è proprio 18 e la frazione diventa 1/3 in un passaggio.
Se non divide, prova i divisori del numero piccolo in ordine decrescente. Per 18 sarebbero 9, 6, 3, 2: il primo che divide anche l’altro è il M.C.D.
E se non ne trova nessuno, hai la risposta migliore di tutte: la frazione era già irriducibile e non c’era niente da fare.
✎ Esercizio svolto
Riduci ai minimi termini la frazione 24/36.
- Cerca il massimo comune divisore I divisori comuni di 24 e 36 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Il più grande è 12, quindi il M.C.D. è 12.
- Dividi entrambi i termini 24 : 12 = 2 e 36 : 12 = 3, quindi 24/36 diventa 2/3.
- Controlla di aver finito 2 e 3 non hanno divisori comuni oltre a 1: sono primi fra loro, quindi 2/3 è irriducibile.
- Verifica che il valore sia lo stesso 24 : 36 = 0,666… e 2 : 3 = 0,666…. Stesso numero, scritto meglio.
Soluzione: 24/36 = 2/3, che è già ridotta ai minimi termini.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
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Domande frequenti
Cosa significa semplificare una frazione?
Riscriverla con numeratore e denominatore più piccoli mantenendo lo stesso valore. La frazione semplificata è equivalente a quella di partenza.
Come si semplifica una frazione?
Si dividono numeratore e denominatore per un loro divisore comune. Dividendo per il M.C.D. si arriva subito alla forma finale.
Quando una frazione è ridotta ai minimi termini?
Quando numeratore e denominatore sono primi fra loro, cioè il loro unico divisore comune è 1. In quel caso la frazione si dice irriducibile.
Semplificare cambia il valore della frazione?
No. Per la proprietà invariantiva, dividendo entrambi i termini per lo stesso numero il valore resta identico: 36/30 e 6/5 valgono entrambe 1,2.
Cosa succede se non uso il M.C.D.?
Niente di grave: arrivi allo stesso risultato in più passaggi. Semplificare per un divisore comune qualsiasi e ripetere è sempre corretto.
Quali frazioni non si possono semplificare?
Quelle con numeratore e denominatore primi fra loro, come 3/7 o 5/8. Sono già irriducibili.
Perché non posso cancellare una cifra uguale sopra e sotto?
Perché la semplificazione è una divisione, non una cancellatura di cifre. In 16/64 non si può togliere il 6: bisogna dividere entrambi per 16 e ottenere 1/4.