Criteri di Divisibilità: le Regole per 2, 3, 5, 9 e gli Altri

Dieci regole nella tabella, tre che userai davvero

Sul libro i criteri di divisibilità sono una tabella con dieci righe, e sembra roba da imparare a memoria tutta insieme. Non è così.

Nella pratica ne userai tre: quelli del 2, del 5 e del 3. Coprono quasi tutti i casi che incontri quando scomponi un numero o semplifichi una frazione, e si applicano in un secondo. Gli altri sette esistono, sono nella tabella qui sotto, e li guarderai quando servono.

C’è anche una cosa da dire subito, che i libri non dicono: su alcuni numeri il criterio è più lento della divisione. Quello del 7 richiede di togliere una cifra, raddoppiarla e fare una sottrazione. Se il numero è piccolo, dividere e basta è più veloce. Sapere quando non usare una regola fa parte del mestiere quanto conoscerla.

I tre che si usano sempre

Per 2: il numero è divisibile se l’ultima cifra è pari, cioè 0, 2, 4, 6 o 8. Il 34 sì, il 27 no. Non importa quanto è lungo il numero: contano solo le unità.

Per 5: se l’ultima cifra è 0 oppure 5. L’80 sì, il 17 no. Nessuna eccezione.

Per 3: si sommano le cifre e si guarda il risultato. Se quella somma è multipla di 3, lo è anche il numero di partenza.

Quest’ultimo è il più prezioso dei tre, perché sul 3 l’occhio da solo non basta: guardando 261 nessuno direbbe che si divide per 3, mentre la somma lo dice subito. E se la somma resta grande, si può sommare di nuovo: 9999 dà 36, e 3 + 6 = 9.

La tabella completa

Il 3 e il 9: stessa somma, soglia diversa

È la confusione più frequente di tutto l’argomento, e nasce dal fatto che i due criteri si fanno nello stesso modo: sommi le cifre. Cambia solo cosa devi guardare alla fine.

Per il 3 la somma deve essere multipla di 3. Per il 9 deve essere multipla di 9.

Da qui una conseguenza che vale la pena tenere: tutto ciò che è divisibile per 9 lo è anche per 3, ma non viceversa.

33 → 3 + 3 = 6. Multiplo di 3, non di 9: divisibile per 3, non per 9.

27 → 2 + 7 = 9. Multiplo di entrambi: divisibile per 3 e per 9.

17 → 1 + 7 = 8. Né l’uno né l’altro.

Se ti confondi, ricorda che 9 è più esigente di 3: chiede una soglia più alta sulla stessa somma.

I criteri che si costruiscono con altri

Alcuni numeri non hanno una regola propria: si ottengono mettendo insieme criteri che conosci già.

Per 6 servono insieme quello del 2 e quello del 3. Il 72 è pari e la somma delle cifre fa 9, quindi passa entrambi ed è divisibile per 6. Attenzione: devono valere tutti e due. Il 21 è divisibile per 3 ma non per 2, quindi non lo è per 6.

Per 4 si guardano le ultime due cifre: se formano un multiplo di 4 o sono due zeri, ci siamo. Il 128 sì, perché 28 è multiplo di 4. Funziona perché le centinaia sono già tutte divisibili per 4, quindi l’unica parte da controllare è la coda.

Per 25 stesso ragionamento, ma le ultime due cifre devono formare 00, 25, 50 o 75. Il 450 sì, perché finisce con 50.

Il 7 e l’11: quando conviene lasciar perdere

Questi due esistono, ma sono i più laboriosi, e vale la pena sapere quando non usarli.

Per 7: togli l’ultima cifra, raddoppiala e sottraila da quel che resta. Se il risultato è 0 o multiplo di 7, il numero lo è.

91 → resta 9, l’ultima cifra è 1 e il doppio è 2 → 9 − 2 = 7 → divisibile

119 → resta 11, doppio di 9 è 18 → |11 − 18| = 7 → divisibile

Per 11: sommi le cifre di posto dispari, poi quelle di posto pari, e fai la differenza. Se viene 0 o un multiplo di 11, ci siamo.

209 → (2 + 9) − 0 = 11 → divisibile

1727 → (7 + 7) − (1 + 2) = 11 → divisibile

311 → (3 + 1) − 1 = 3 → non divisibile

Detto onestamente: su un numero di tre cifre, dividere per 7 a mente costa meno che applicare il criterio. Questi due diventano convenienti solo con numeri lunghi, o quando la divisione ti spaventa più della sottrazione.

A cosa servono davvero

Non sono un esercizio a sé: sono lo strumento che rende veloci tre cose che farai continuamente.

Scomporre in fattori primi. Nella scomposizione devi provare a dividere per 2, poi per 3, poi per 5. I criteri ti dicono in un secondo se vale la pena provare, invece di fare la divisione e scoprire che c’era resto.

Semplificare le frazioni. Per semplificare devi trovare un divisore comune a numeratore e denominatore: applicando i tre criteri a entrambi i numeri lo trovi a colpo d’occhio.

Trovare i divisori di un numero. Mentre li cerchi a coppie, i criteri ti fanno saltare tutte le prove destinate a fallire.

Se ti blocchi: parti sempre dagli stessi tre, in ordine

Davanti a un numero, non cercare di ricordarti tutta la tabella. Fai sempre la stessa sequenza, che copre quasi tutto:

1. finisce con una cifra pari? → divisibile per 2
2. finisce con 0 o 5? → divisibile per 5
3. somma le cifre: multipla di 3? → divisibile per 3, e se è multipla di 9 lo è anche per 9

Tre controlli, dieci secondi, nessuna divisione. Solo se ti serve un numero che non compare qui vai a guardare la tabella. Imparare i tre in sequenza vale più che sapere tutti e dieci alla rinfusa.