Il traguardo spostato: quando sembra finita e non lo è
Chiedi di scomporre il 12 e la risposta più frequente è 3 · 4. È vera come moltiplicazione, ma non è una scomposizione in fattori primi, perché il 4 non è primo: si può ancora spezzare in 2 · 2.
Il punto è tutto qui, ed è la ragione per cui questo argomento sembra più difficile di quello che è: non basta spezzare il numero, bisogna spezzarlo fino in fondo. Il lavoro finisce solo quando tutti i pezzi rimasti sono primi, cioè quando nessuno di loro si può dividere ancora.
12 = 3 · 4 → non finita, il 4 si spezza
12 = 3 · 2 · 2 = 2² · 3 → finita, 2 e 3 sono primi
Se in una scomposizione compare un numero pari diverso da 2, o un numero che finisce per 5 diverso dal 5, o un qualsiasi numero che riesci ancora a dividere, non hai finito. Il metodo che segue serve proprio a non doverlo giudicare a occhio.
Che Cos’è la Scomposizione in Fattori Primi (il codice a barre di un numero)
L’operazione che permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si chiama scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione. In pratica prendi un numero e lo spezzi nei mattoncini primi che lo compongono.
Qualche esempio:
21 = 3 · 7
12 = 2² · 3
30 = 2 · 3 · 5
16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴
Un numero primo invece è già scomposto: 17 non ha divisori oltre a 1 e se stesso, quindi la sua scomposizione è 17 e basta.
C’è una cosa notevole in tutto questo, e vale la pena saperla: ogni numero ha una sola scomposizione possibile. Puoi arrivarci per strade diverse, ma i mattoncini che trovi alla fine sono sempre gli stessi, negli stessi numeri. È come il codice a barre del numero: 60 sarà sempre 2² · 3 · 5, per chiunque, ovunque.
Come si scompone un numero: le divisioni successive (metodo passo-passo)
Il metodo è meccanico, e questo è il suo pregio: non devi indovinare niente.
- dividi il numero per il più piccolo primo che lo divide (parti sempre dal 2);
- ripeti sul quoziente che ottieni, provando lo stesso primo finché funziona;
- passa al primo successivo (3, poi 5, poi 7…) quando quello di prima non divide più;
- fermati quando il quoziente arriva a 1.
Vediamo il 126:
126 : 2 = 63
63 : 3 = 21
21 : 3 = 7
7 : 7 = 1
I fattori primi usati sono 2, 3, 3 e 7. Quindi:
126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 3² · 7
Nota il passaggio che inganna di più: dopo aver diviso per 3 una volta, si riprova subito con il 3, non si passa al 5. Un primo si abbandona solo quando smette di funzionare.
Dai Fattori Ripetuti alle Potenze (perché 2·2·2·2 diventa 2⁴)
Quando lo stesso divisore primo compare più di una volta, si scrive come potenza. È solo un modo più ordinato di presentare lo stesso risultato.
Prendi il 16: dividendolo più volte per 2 ottieni 2 · 2 · 2 · 2, cioè il 2 ripetuto quattro volte, che si scrive 2⁴.
16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴
Allo stesso modo, nel 126 il 3 compariva due volte ed è diventato 3². Le potenze non cambiano il risultato: servono a leggerlo meglio, e diventano indispensabili quando poi userai la scomposizione per M.C.D. e m.c.m., dove tutto il ragionamento gira intorno agli esponenti.
I trucchi del mestiere: scomporre più in fretta
Il metodo funziona sempre, ma con questi quattro accorgimenti ci metti la metà del tempo.
- Usa i criteri di divisibilità. Prima di provare a dividere, guarda le cifre: pari significa divisibile per 2, finisce per 0 o 5 significa divisibile per 5, somma delle cifre multipla di 3 significa divisibile per 3. Sono i criteri di divisibilità e ti dicono in un secondo se vale la pena provare.
- Spreme il 2 fino in fondo. Continua a dividere per 2 finché il numero resta pari. Fatto questo, non dovrai mai più tornarci.
- Fermati alla radice quadrata. Non serve provare tutti i primi: se nessuno fino alla radice quadrata del numero lo divide, quello che ti resta è già primo. Per il 97 basta provare 2, 3, 5 e 7, e hai finito.
- Se il numero finisce per 0, dividilo subito per 10, cioè per 2 e per 5 insieme. Su 3600 questo ti risparmia quattro passaggi.
Errori fatali: i quattro game over della scomposizione
Game over 1: fermarsi con un fattore composto. È l’errore dell’inizio: 12 = 3 · 4 e via. Se tra i fattori resta un numero che sai ancora dividere, il lavoro non è finito.
Game over 2: dividere per un numero non primo. Fare 60 : 6 = 10 non è sbagliato come divisione, ma non serve a niente qui, perché il 6 non è un mattoncino primo: dovrai comunque spezzarlo. Si divide solo per numeri primi.
Game over 3: passare al primo successivo troppo presto. Dopo 60 : 2 = 30, molti passano al 3. Ma 30 è ancora pari: il 2 va usato finché regge.
Game over 4: dimenticare un fattore per strada. Succede con le scomposizioni lunghe, quando si perde il conto delle divisioni fatte.
C’è un controllo che smaschera tutti e quattro in dieci secondi: rimoltiplica i fattori che hai trovato. Se non riottieni esattamente il numero di partenza, manca qualcosa o hai diviso per qualcosa che non dovevi. Per il 60: 2² · 3 · 5 = 4 · 3 · 5 = 60, torna.
A cosa serve: è la chiave di quasi tutto il resto
La scomposizione non è un esercizio fine a se stesso. È lo strumento su cui poggiano tre argomenti che incontrerai subito dopo.
Il M.C.D. si calcola prendendo i fattori comuni con l’esponente minore. Il m.c.m. prendendo tutti i fattori con l’esponente maggiore. E per semplificare una frazione basta scomporre numeratore e denominatore e cancellare i fattori uguali.
Tre argomenti diversi, un solo strumento. È il motivo per cui vale la pena farla diventare automatica: ogni minuto speso qui te ne fa risparmiare dieci più avanti.
La scomposizione nella vita reale: i numeri che tengono al sicuro i soldi
Qui la matematica scolastica incontra qualcosa di serio. Scomporre un numero piccolo è facile: il 60 lo fai a mente. Scomporre un numero di seicento cifre è talmente difficile che nemmeno tutti i computer del mondo messi insieme ci riuscirebbero in tempi umani.
Su questa asimmetria si regge la sicurezza di internet. Quando paghi online o mandi un messaggio cifrato, dietro c’è un numero enorme ottenuto moltiplicando due primi giganteschi. Moltiplicarli è istantaneo; rifare il percorso al contrario, cioè scomporre, è praticamente impossibile. La tua password del conto è protetta esattamente dallo stesso lavoro che stai facendo tu sul 126, solo con numeri fuori scala.
Non è una curiosità: è il motivo per cui i numeri primi, che sembrano l’argomento più astratto del programma, sono anche il più usato nel mondo reale.
Se ti blocchi: non fermarti finché non arrivi a 1
Quando ti blocchi, quasi sempre è perché hai smesso troppo presto o hai provato a indovinare i fattori invece di dividerli.
Il rimedio è meccanico: scrivi il numero, traccia una riga verticale accanto, e a destra segna il primo per cui stai dividendo. Vai avanti riga dopo riga senza chiederti se il risultato “sembra giusto”. Ti fermi solo quando a sinistra compare 1, mai prima.
Quando arrivi a 1, la colonna di destra contiene tutta la scomposizione, in ordine e senza dimenticanze. Poi rimoltiplica per controllare. È lento le prime volte, ed è esattamente per questo che funziona: toglie di mezzo l’unica cosa che qui fa sbagliare, cioè decidere a occhio quando hai finito.
✎ Esercizio svolto
Scomponi il numero 60 in fattori primi usando il metodo delle divisioni successive.
- Dividi per il primo numero primo 60 è pari, quindi si divide per 2: 60 : 2 = 30. Il 30 è ancora pari, quindi di nuovo 30 : 2 = 15.
- Passa ai divisori primi successivi 15 non è divisibile per 2 ma lo è per 3: 15 : 3 = 5. Poi 5 : 5 = 1 e la scomposizione è finita.
- Scrivi il prodotto dei fattori primi I fattori ottenuti sono 2, 2, 3 e 5. Il 2 compare due volte, quindi si scrive come 2²: 60 = 2² · 3 · 5.
- Controlla il risultato Rimoltiplica: 2² · 3 · 5 = 4 · 3 · 5 = 60. Torna il numero di partenza, quindi la scomposizione è completa.
Soluzione: 60 = 2² · 3 · 5.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Cosa vuol dire scomporre in fattori primi?
Vuol dire riscrivere un numero composto come prodotto di soli numeri primi. Ad esempio 30 = 2 · 3 · 5 e 12 = 2² · 3.
Come si scompone un numero in fattori primi?
Si divide il numero per i divisori primi in ordine crescente (2, poi 3, poi 5, poi 7...) finché il quoziente diventa 1. I fattori che si ripetono si scrivono come potenza.
Come faccio a sapere se ho finito?
Hai finito quando il quoziente è 1. Per controllare, rimoltiplica tutti i fattori: devi riottenere il numero di partenza.
Perché 12 = 3 · 4 non è una scomposizione in fattori primi?
Perché il 4 non è un numero primo: si può ancora spezzare in 2 · 2. La scomposizione completa è 12 = 2² · 3, e tutti i fattori devono essere primi.
Perché i fattori ripetuti si scrivono come potenze?
Per scrivere in modo più compatto: invece di 2 · 2 · 2 · 2 si scrive 2⁴. Così 16 = 2⁴ e 126 = 2 · 3² · 7.
Un numero primo si può scomporre?
Un numero primo è già scomposto: si scrive come prodotto di se stesso per 1. Ad esempio 17 = 17 · 1, non ha altri fattori.
Fino a che numero devo provare a dividere?
Basta arrivare alla radice quadrata del numero: se nessun primo fino a lì lo divide, quello che ti resta è già primo. Per 97 basta provare 2, 3, 5 e 7.
A cosa serve la scomposizione in fattori primi?
Serve per calcolare M.C.D. e m.c.m., per semplificare le frazioni e per lavorare con le radici. È lo strumento di base di quasi tutto il programma di aritmetica di prima media.