Che cos’è il minimo comune multiplo
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri è il più piccolo tra i loro multipli comuni, diverso da zero. Detto in modo semplice: tra tutti i numeri che sono multipli contemporaneamente dei numeri di partenza, il m.c.m. è il minore (lo zero non si conta, perché è multiplo di qualsiasi numero).
Il boss di fine livello: perché il m.c.m. sembra più difficile di quello che è
Chiedi a qualcuno il minimo comune multiplo di 4 e 6. La prima risposta, quasi sempre, è 24. Viene naturale: moltiplichi i due numeri e hai finito.
La cosa interessante è che non è nemmeno sbagliato. 24 è davvero un multiplo comune di 4 e 6. Il problema è un’altra parola, quella che nessuno legge: minimo. Perché prima del 24 c’è il 12, che è multiplo di entrambi ed è più piccolo.
Ecco il punto: moltiplicare i due numeri ti dà sempre un multiplo comune. Il m.c.m. te ne chiede uno preciso, il più piccolo. Tutto quello che segue serve a trovarlo senza andare a tentativi.
E se ti sembra una regola inventata apposta per complicare la vita: serve a tenere i numeri piccoli. Quando sommi 1/8 + 1/12, usare 24 invece di 96 significa fare i conti con numeri quattro volte più maneggevoli.
Le basi: come scovare i multipli comuni di due numeri
Il modo più diretto per capire il m.c.m. è scrivere i primi multipli di ogni numero e cercare il primo che compare in entrambe le liste.
Prendiamo il 4 e il 6:
multipli di 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
multipli di 6 = 6, 12, 18, 24, 30, …
I multipli comuni sono 12, 24, 36… e il più piccolo è il 12. Quindi il m.c.m. di 4 e 6 è 12.
Questo metodo è lento, ma insegna tre cose che poi non dimentichi più:
- il m.c.m. non è mai più piccolo del maggiore dei due numeri;
- il m.c.m. non è mai più grande del loro prodotto;
- sta sempre in mezzo a questi due estremi, estremi compresi.
Con numeri più grandi le liste diventano lunghissime: conviene allora usare la scomposizione in fattori primi.
Come si calcola il m.c.m. con la scomposizione in fattori primi (metodo passo-passo)
La regola in tre mosse:
- scomponi i numeri in fattori primi;
- prendi tutti i fattori, comuni e non comuni, ognuno una sola volta;
- dai a ciascuno l’esponente maggiore tra quelli con cui compare, poi moltiplica.
Calcoliamo il m.c.m. di 30 e 18. Scomponiamo:
30 = 2 · 3 · 5
18 = 2 · 3²
Ora raccogliamo tutti i fattori. Il 2 compare con esponente 1 in entrambi, quindi si prende come 2. Il 3 compare come 3 nel 30 e come 3² nel 18: tra i due si sceglie l’esponente maggiore, cioè 3². Il 5 compare solo nel 30, ma va comunque incluso perché nel m.c.m. entrano anche i fattori non comuni. Quindi:
m.c.m. = 2 · 3² · 5 = 2 · 9 · 5 = 90
Lo stesso metodo funziona identico con tre o più numeri: si scompongono tutti e si prende ogni fattore che compare almeno una volta, con l’esponente più alto. Per 4, 6 e 15: 4 = 2², 6 = 2 · 3, 15 = 3 · 5, quindi m.c.m. = 2² · 3 · 5 = 60.
I trucchi del mestiere: quando il m.c.m. si vede a colpo d’occhio
In parecchi casi non serve scomporre niente. Vale la pena controllarli prima di mettersi a fare conti.
- Un numero è multiplo dell’altro? Allora il m.c.m. è il più grande dei due, e hai già finito. Il m.c.m. di 4 e 12 è 12; quello di 5 e 30 è 30.
- I due numeri non hanno fattori in comune? Allora il m.c.m. è il loro prodotto. 4 e 9 non condividono niente, quindi m.c.m. = 36. Vale sempre tra due numeri primi diversi: m.c.m. di 7 e 11 = 77.
- Conosci già il M.C.D.? Allora la scorciatoia è una divisione sola: il prodotto dei due numeri diviso il loro M.C.D.. Per 30 e 18: (30 · 18) ÷ 6 = 540 ÷ 6 = 90. Stesso risultato, senza rifare la scomposizione.
- Numeri piccoli, sotto il 20? Conviene elencare i multipli del più grande e fermarsi al primo divisibile per l’altro: per 6 e 8 basta provare 8, 16, 24 e sei arrivato.
Non confonderli più: M.C.D. e m.c.m. a confronto
Il dubbio di tutti è sempre lo stesso: quale voleva l’esponente maggiore e quale il minore? Il trucco per ricordarlo è che funziona al contrario rispetto al nome.
- Il minimo comune multiplo vuole l’esponente Maggiore, e TUTTI i fattori.
- Il Massimo Comune Divisore vuole l’esponente Minore, e SOLO i fattori comuni.
Messi in tabella:
| M.C.D. | m.c.m. | |
|---|---|---|
| Fattori da usare | solo i comuni | tutti (comuni e non) |
| Esponente | il minore | il maggiore |
| Risultato | il più grande divisore comune | il più piccolo multiplo comune |
| Rispetto ai numeri dati | più piccolo o uguale | più grande o uguale |
Per gli stessi 30 e 18 avevamo M.C.D. = 6 e m.c.m. = 90. C’è anche una bella regola di controllo: il prodotto del M.C.D. per il m.c.m. è uguale al prodotto dei due numeri. Infatti 6 · 90 = 540 e 30 · 18 = 540. Se i conti tornano, la scomposizione è quasi certamente giusta.
Errori fatali: i quattro game over del m.c.m.
Game over 1: moltiplicare i due numeri e fermarsi. Funziona, ma solo quando i due numeri non hanno nessun fattore in comune. Con 4 e 6, che condividono il 2, moltiplicarli conta quel 2 due volte e ti porta a 24 invece che a 12.
Game over 2: prendere solo i fattori comuni. È la regola del M.C.D. applicata al posto sbagliato: su 30 e 18 porta a 2 · 3 = 6. Il segnale d’allarme è immediato: se il risultato è più piccolo dei numeri di partenza, non può essere un loro multiplo.
Game over 3: scegliere l’esponente minore. Stesso scambio, in versione più sottile: su 8 = 2³ e 12 = 2² · 3 porta a 2² · 3 = 12, che di 8 non è multiplo. Il m.c.m. deve contenere entrambi i numeri, e solo l’esponente più alto li copre tutti e due.
Game over 4: dimenticare i fattori non comuni. Su 30 e 18 è il 5 a rischiare di sparire, perché compare in un numero solo. Ma senza il 5 il risultato non sarebbe più multiplo di 30.
C’è un controllo che smaschera tutti e quattro in dieci secondi: il m.c.m. deve essere divisibile per ciascuno dei numeri di partenza. 90 diviso 30 fa 3, 90 diviso 18 fa 5: torna. Se una delle due divisioni ha resto, il risultato è sbagliato, punto.
A cosa serve il m.c.m.: il denominatore comune
L’uso più frequente del minimo comune multiplo è nelle frazioni. Per sommare o sottrarre frazioni con denominatori diversi bisogna prima ridurle allo stesso denominatore, e il denominatore comune più comodo è proprio il m.c.m. dei denominatori.
Per esempio, per calcolare 1/8 + 1/12 serve un denominatore comune ai due: il m.c.m. di 8 e 12 è 24. Si riscrivono allora le due frazioni con denominatore 24 e poi si sommano i numeratori. Usare il m.c.m. tiene i numeri più piccoli possibile e rende i calcoli più semplici.
Il m.c.m. nella vita reale: tre problemi che capitano davvero
Il minimo comune multiplo salta fuori ogni volta che due cose si ripetono con ritmi diversi e vuoi sapere quando ricapitano insieme.
Gli autobus. Dal capolinea una linea parte ogni 12 minuti e l’altra ogni 18. Se alle 8:00 partono insieme, quando ricapiterà? Serve il m.c.m. di 12 e 18: 12 = 2² · 3 e 18 = 2 · 3², quindi m.c.m. = 2² · 3² = 36. Ripartiranno insieme alle 8:36.
L’allenamento. Tu vai in piscina ogni 4 giorni, il tuo amico ogni 6. Oggi vi siete incontrati: fra quanto ricapiterà? m.c.m. di 4 e 6 = 12 giorni.
Le luci di Natale. Una fila lampeggia ogni 8 secondi, l’altra ogni 10. Quando si accendono insieme? 8 = 2³ e 10 = 2 · 5, quindi m.c.m. = 2³ · 5 = 40 secondi.
Lo schema è sempre lo stesso, e riconoscerlo vale più che saper fare il conto: due cicli, due frequenze diverse, la domanda “quando di nuovo insieme?”. Se invece il problema chiede di dividere qualcosa in parti uguali il più grandi possibile (sacchetti, mazzi, squadre), allora non serve il m.c.m. ma il M.C.D..
Se ti blocchi: riparti dal nome
Quasi mai il problema è il calcolo. È che “minimo comune multiplo” sono tre parole astratte messe in fila, e conviene smontarle al contrario. Prima multiplo: i numeri della tabellina del 4, cioè 4, 8, 12, 16 e così via. Poi comune: quelli che stanno in tutte e due le tabelline. E solo alla fine minimo: il primo che incontri.
Se ti blocchi, scrivi le due liste di multipli per esteso e cerchia il primo che compare in entrambe. È lento, ed è esattamente per questo che funziona: quando poi arrivi alla scomposizione in fattori primi non è più una regola da mandare a memoria, è una scorciatoia per fare in fretta una cosa che hai già capito.
E se ti resta il dubbio “ma tanto bastava moltiplicarli”, mettilo alla prova: dividi il tuo risultato per i due numeri di partenza. Torna, quindi il tuo numero è davvero un multiplo comune. Adesso chiediti se ne esiste uno più piccolo che fa lo stesso lavoro. Quando lo trovi, quella regola non te la dimentichi più.
✎ Esercizio svolto
Calcola il m.c.m. di 8 e 12 con il metodo della scomposizione in fattori primi.
- Scomponi i due numeri in fattori primi 8 = 2 · 2 · 2 = 2³ e 12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3.
- Elenca tutti i fattori, comuni e non comuni I fattori che compaiono sono il 2 (in entrambi i numeri) e il 3 (solo nel 12).
- Prendi ogni fattore con l'esponente maggiore Per il 2 l'esponente maggiore è 3 (2³ e non 2²); il 3 si prende con esponente 1. Quindi m.c.m. = 2³ · 3.
- Moltiplica i fattori scelti m.c.m. = 2³ · 3 = 8 · 3 = 24.
- Controlla il risultato 24 ÷ 8 = 3 e 24 ÷ 12 = 2: entrambe le divisioni hanno resto zero, quindi 24 è davvero un multiplo comune.
Soluzione: Il m.c.m. di 8 e 12 è 24.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Che cos'è il minimo comune multiplo?
È il più piccolo tra i multipli comuni a due o più numeri, escluso lo zero. Per esempio i multipli comuni di 4 e 6 sono 12, 24, 36...: il m.c.m. è 12.
Come si calcola il m.c.m. con la scomposizione in fattori primi?
Si scompongono i numeri, poi si moltiplicano tutti i fattori, comuni e non comuni, presi una sola volta con l'esponente maggiore. Esempio: 30 = 2 · 3 · 5 e 18 = 2 · 3², quindi m.c.m. = 2 · 3² · 5 = 90.
Perché il m.c.m. di 4 e 6 non è 24?
Perché 24 è un multiplo comune, ma non il più piccolo: prima c'è il 12, che è multiplo sia di 4 sia di 6. Moltiplicare i due numeri dà sempre un multiplo comune, non necessariamente il minimo.
Come faccio a controllare se il m.c.m. è giusto?
Dividi il risultato per ciascuno dei numeri di partenza: se entrambe le divisioni hanno resto zero, il m.c.m. è corretto. Per esempio 90 ÷ 30 = 3 e 90 ÷ 18 = 5, quindi 90 va bene.
A cosa serve il minimo comune multiplo?
Serve soprattutto per sommare e sottrarre frazioni con denominatori diversi: il m.c.m. dei denominatori diventa il denominatore comune. Per esempio, per 1/8 + 1/12 si usa 24, cioè il m.c.m. di 8 e 12.
Qual è la differenza tra M.C.D. e m.c.m.?
Il M.C.D. è il più grande divisore comune e usa solo i fattori comuni con l'esponente minore; il m.c.m. è il più piccolo multiplo comune e usa tutti i fattori con l'esponente maggiore. Per 30 e 18: M.C.D. = 6 e m.c.m. = 90.
Come si calcola il m.c.m. di tre numeri?
Con lo stesso metodo: si scompongono tutti e tre i numeri e si prendono tutti i fattori che compaiono almeno una volta, ciascuno con l'esponente maggiore. Per 4, 6 e 15: 4 = 2², 6 = 2 · 3, 15 = 3 · 5, quindi m.c.m. = 2² · 3 · 5 = 60.
Il m.c.m. può essere uguale a uno dei due numeri?
Sì, quando un numero è multiplo dell'altro. Il m.c.m. di 4 e 12 è 12, perché 12 è già multiplo di 4: in questi casi non serve nessun calcolo.