L’esponente non moltiplica: conta
C’è un errore che quasi tutti fanno la prima settimana, e non per distrazione: scrivere 3⁴ = 12.
È comprensibile. Quel 4 è piccolo, sta lì in alto, sembra un numero che partecipa al calcolo come tutti gli altri. E invece no: l’esponente non è un fattore, è un contatore. Non entra nella moltiplicazione, dice soltanto quanti pezzi ci sono.
3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
Il 4 non compare da nessuna parte nel calcolo: ha solo detto “scrivi quattro tre”. Se tieni a mente questa distinzione, tutto il capitolo delle potenze, comprese le proprietà, diventa una cosa sola: contare quante volte compare la base.
E c’è una conseguenza immediata: siccome i due numeri fanno lavori diversi, non si possono scambiare. 3⁴ = 81, ma 4³ = 64. Nell’addizione e nella moltiplicazione l’ordine non conta, qui sì.
Come è fatta una potenza
Una potenza è il prodotto di più fattori uguali fra loro. Si scrive con due numeri, uno grande e uno piccolo in alto a destra.
aⁿ = p, dove a è la base, n è l’esponente e p è il valore della potenza.
Serve soprattutto a scrivere corto. Invece di 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 scrivi 2¹⁰, e chiunque capisce subito di che numero stai parlando. Con numeri grandi, come nelle potenze di 10, è l’unico modo pratico.
Come si legge
La lettura dipende dall’esponente:
- 3⁴ si legge “tre alla quarta”;
- 5² si legge “cinque alla seconda” oppure “cinque al quadrato”;
- 2³ si legge “due alla terza” oppure “due al cubo”.
Gli esponenti 2 e 3 sono gli unici con un secondo nome, e non è un vezzo: quei nomi vengono dalla geometria, come vedrai fra poco.
Le potenze nelle espressioni
Quando in un’espressione compare una potenza, va calcolata per prima, prima ancora di moltiplicazioni e divisioni.
- le potenze;
- moltiplicazioni e divisioni;
- addizioni e sottrazioni.
In 2³ + 3² · 2 si parte sciogliendo 2³ = 8 e 3² = 9, e solo dopo si fa 9 · 2 = 18 e infine 8 + 18 = 26.
La regola pratica è: una potenza non si trascina. Appena la incontri, trasformala nel suo valore e riscrivi l’espressione. Portarsela dietro per due passaggi è il modo più veloce per sbagliarla.
Perché l’area è in cm² e il volume in cm³
Qui le potenze smettono di essere una scorciatoia di scrittura e diventano qualcosa che vedi.
L’area è “alla seconda” perché nasce dal prodotto di due lunghezze: cm · cm = cm². Il quadrato di lato 2 cm ha area 2 · 2 = 4 cm², ed è esattamente il disegno che spiega perché l’esponente 2 si chiama quadrato.
2 cm · 2 cm + 4 cm · 3 cm = 4 cm² + 12 cm² = 16 cm²
Il volume è “alla terza” perché nasce dal prodotto di tre lunghezze: cm · cm · cm = cm³. Il cubo di lato 2 cm ha volume 2 · 2 · 2 = 8 cm³, e da qui il nome cubo per l’esponente 3.
2 cm · 2 cm · 2 cm + 1 cm · 1 cm · 1 cm = 8 cm³ + 1 cm³ = 9 cm³
Il passaggio da una dimensione all’altra è sempre lo stesso: da una lunghezza si sale all’area elevando alla seconda e al volume elevando alla terza.
Questo spiega anche una cosa che tornerà utile: raddoppiare il lato di un quadrato non raddoppia l’area, la quadruplica, perché 2² = 4. E raddoppiare lo spigolo di un cubo moltiplica il volume per 8.
Se ti blocchi: scrivila per esteso e conta
Quando una potenza ti mette in dubbio, non provare a ricordare la regola: scrivila per esteso.
3⁴ diventa 3 · 3 · 3 · 3. Adesso conti i tre: sono quattro. Poi moltiplichi: 9, 27, 81.
Ci mette cinque secondi e sistema da solo tutti gli errori possibili. Ti dice che 3⁴ non è 12, che 3⁴ non è uguale a 4³, e più avanti ti farà ritrovare da solo tutte le proprietà delle potenze, che sono soltanto modi rapidi per contare fattori senza scriverli.
Con esponenti grandi non conviene scrivere tutto, ma il ragionamento resta lo stesso: la domanda è sempre “quante volte compare la base”.
✎ Esercizio svolto
Calcola il valore dell'espressione 2³ + 3² · 2.
- Sviluppa le potenze per prime Nelle espressioni le potenze si calcolano prima di tutto: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 e 3² = 3 · 3 = 9.
- Controlla di non aver moltiplicato base ed esponente 2³ vale 8 e non 6, 3² vale 9 e non 6. È il controllo che evita l'errore più comune.
- Esegui la moltiplicazione Prima dell'addizione va fatta la moltiplicazione: 9 · 2 = 18.
- Esegui l'addizione Infine 8 + 18 = 26.
Soluzione: 2³ + 3² · 2 = 26.
▶ Lo vedi nel gioco
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Domande frequenti
Che cos'è una potenza?
È il prodotto di più fattori uguali fra loro. In 3⁴ il 3 è la base e va moltiplicato per se stesso 4 volte, cioè 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Qual è la differenza tra base ed esponente?
La base è il numero che si ripete, l'esponente dice quante volte ripeterlo. In 3⁴ la base è 3 e l'esponente è 4.
Perché 3⁴ non fa 12?
Perché l'esponente non moltiplica la base: la conta. 3⁴ significa 3 · 3 · 3 · 3, cioè 81, mentre 3 · 4 = 12 è tutta un'altra operazione.
3⁴ e 4³ danno lo stesso risultato?
No. Base ed esponente non si possono scambiare: 3⁴ = 81 mentre 4³ = 64.
Come si legge 2³?
Si legge "due alla terza" oppure "due al cubo", e vale 2 · 2 · 2 = 8.
Perché l'area si misura in cm² e il volume in cm³?
Perché l'area nasce dal prodotto di due lunghezze (cm · cm = cm²) e il volume dal prodotto di tre (cm · cm · cm = cm³).
In un'espressione quando si calcolano le potenze?
Sempre per prime, prima ancora di moltiplicazioni e divisioni. Una potenza va sciolta nel suo valore prima di proseguire.