Cinque regole, una sola idea
Il riquadro delle proprietà delle potenze è quello che gli studenti fotografano di più e capiscono di meno: cinque righe, cinque formule, esponenti che a volte si sommano, a volte si sottraggono, a volte si moltiplicano. Sembra arbitrario.
Non lo è. Tutte e cinque escono dalla stessa domanda, quella che hai già visto nella guida sulle potenze: quante volte compare la base?
Guarda cosa succede se scrivi tutto per esteso:
2³ · 2² = (2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵
Il 2 compariva tre volte, poi altre due: in totale cinque. Gli esponenti si sommano perché i fattori si accumulano. Non c’è niente da memorizzare, c’è solo da contare.
Questo ti dà anche una rete di sicurezza: se in verifica non ricordi una proprietà, la riscrivi per esteso e la ritrovi in dieci secondi. È il motivo per cui vale la pena leggere questa pagina invece di fotografarla.
Stessa base: gli esponenti si sommano o si sottraggono
Prodotto. Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza con la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
2³ · 2² = 2³⁺² = 2⁵
Quoziente. Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza con la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
2⁵ : 2² = 2⁵⁻² = 2³
Anche il quoziente si spiega contando: in 2⁵ : 2² hai cinque fattori sopra e due sotto, e due di sopra si semplificano con i due di sotto. Ne restano tre.
La condizione da controllare sempre: la base deve essere la stessa. Con 2³ · 3² non puoi fare niente, va calcolato pezzo per pezzo: 8 · 9 = 72.
Potenza di una potenza: gli esponenti si moltiplicano
(2³)² = 2³ˣ² = 2⁶
Anche qui basta contare. (2³)² significa prendere il gruppo 2³ e ripeterlo due volte: due gruppi da tre fattori fanno sei fattori in tutto. Da qui la moltiplicazione degli esponenti.
Attenzione a non confonderla con il prodotto: 2³ · 2² = 2⁵, ma (2³)² = 2⁶. Le parentesi cambiano tutto, perché nel primo caso i gruppi si affiancano, nel secondo si moltiplicano fra loro.
Stesso esponente: si lavora sulle basi
Queste due proprietà funzionano al contrario delle precedenti: le basi possono essere diverse, ma l’esponente deve essere lo stesso.
Prodotto. Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi.
2³ · 3³ = (2 · 3)³ = 6³
Quoziente. Analogamente, con il quoziente delle basi.
6³ : 2³ = (6 : 2)³ = 3³
Il conto per esteso: 2³ · 3³ = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3), e riordinando i fattori con la proprietà commutativa diventa (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3), cioè 6³. Tre coppie identiche.
L’esponente negativo
Una potenza con esponente negativo è uguale al reciproco della base elevato all’esponente positivo.
2⁻³ = (1/2)³ = 1/8
Il segno meno non rende negativo il risultato: 2⁻³ vale 1/8, che è un numero positivo, solo più piccolo di 1. Il meno dice “capovolgi la frazione”, non “cambia segno”.
Da dove viene? Dal quoziente con la stessa base: 2³ : 2⁵ vale 2⁻², e facendo il conto per esteso viene 1/4, cioè (1/2)². Le due strade devono dare lo stesso risultato, e questo obbliga l’esponente negativo a significare proprio il reciproco.
Quando la base è già una frazione si eleva sopra e sotto separatamente, come spiegato nella potenza di una frazione.
L’errore da non fare: somme e sottrazioni
Le proprietà valgono solo per moltiplicazioni e divisioni fra potenze. Con le somme non c’è nessuna scorciatoia.
2³ + 2² non fa 2⁵.
Facendo i conti: 8 + 4 = 12, mentre 2⁵ = 32. Sono numeri completamente diversi.
Il motivo è quello di sempre: sommando non stai accumulando fattori, stai mettendo insieme due risultati. Quando in un’espressione trovi potenze separate da un più o da un meno, sviluppale e basta.
Se ti blocchi: scrivi per esteso e conta i fattori
Non c’è bisogno di ricordare le cinque formule. Serve una mossa sola.
Prendi le potenze, scrivile come moltiplicazioni per esteso e conta quante volte compare la base. Il numero che ti viene è l’esponente giusto.
2⁴ · 2³ → (2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) → sette volte → 2⁷
Con esponenti grandi non scrivere tutto: basta immaginarlo. La domanda resta “quante volte”, e la risposta è sempre l’esponente.
E se la mossa non funziona, come in 2³ + 2², è un buon segno: significa che quella proprietà non esiste, e stai per evitare un errore.
✎ Esercizio svolto
Semplifica 2³ · 2⁴ : 2² usando le proprietà delle potenze, poi calcola il valore.
- Controlla che le basi siano uguali Tutte e tre le potenze hanno base 2, quindi si possono usare le proprietà sugli esponenti.
- Somma gli esponenti nel prodotto 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷, perché in tutto il 2 compare sette volte.
- Sottrai l'esponente nel quoziente 2⁷ : 2² = 2⁷⁻² = 2⁵: due dei sette fattori si semplificano.
- Sviluppa il risultato 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
Soluzione: 2³ · 2⁴ : 2² = 2⁵ = 32.
▶ Lo vedi nel gioco
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Domande frequenti
Quali sono le proprietà delle potenze?
Prodotto e quoziente con la stessa base, potenza di una potenza, prodotto e quoziente con lo stesso esponente. In tutto cinque regole.
Quando si sommano e quando si sottraggono gli esponenti?
Si sommano nel prodotto di potenze con la stessa base e si sottraggono nel quoziente: 2³ · 2² = 2⁵ e 2⁵ : 2² = 2³.
Come si calcola la potenza di una potenza?
Si tiene la stessa base e si moltiplicano gli esponenti: (2³)² = 2⁶ = 64.
Posso applicare le proprietà se le basi sono diverse?
Solo quelle con lo stesso esponente, che lavorano sulle basi: 2³ · 3³ = 6³. Per sommare o sottrarre gli esponenti serve la stessa base.
Perché 2³ + 2² non fa 2⁵?
Perché le proprietà valgono per moltiplicazioni e divisioni, non per somme. 2³ + 2² = 8 + 4 = 12, mentre 2⁵ = 32.
Cosa vuol dire un esponente negativo?
Che la potenza è uguale al reciproco della base elevato all'esponente positivo: 2⁻³ = (1/2)³ = 1/8.
Come faccio se non ricordo una proprietà?
Scrivi le potenze per esteso e conta quante volte compare la base: la regola si ricostruisce da sola in pochi secondi.