a⁰ = 1 non è una regola inventata
“Un numero elevato a zero fa uno.” È la frase che si accetta senza discutere, perché non ha nessun senso apparente: se l’esponente conta quante volte scrivere la base, e la scrivo zero volte, perché mai dovrebbe venire 1 invece che 0?
La domanda è giusta, e la risposta è più interessante della regola.
Guarda cosa succede scendendo con l’esponente, dividendo ogni volta per la base:
2³ = 8
2² = 4 (metà di 8)
2¹ = 2 (metà di 4)
2⁰ = 1 (metà di 2)
Ogni riga è la precedente divisa per 2. Continuando la sequenza, l’unico valore che può stare al posto di 2⁰ è 1. Non è stato deciso a tavolino: è l’unico numero che non rompe lo schema.
Lo stesso ragionamento con le proprietà delle potenze: 5³ : 5³ vale ovviamente 1, perché è un numero diviso se stesso. Ma con la regola del quoziente lo stesso calcolo dà 5³⁻³ = 5⁰. Le due strade devono portare allo stesso posto, quindi 5⁰ = 1 per forza.
L’esponente 0
Una potenza con esponente 0 vale sempre 1, purché la base sia diversa da zero.
5⁰ = 1 100⁰ = 1 27⁰ = 1
La cosa che sorprende è che la base non conta: 5 e 100 sono numeri lontanissimi, ma elevati a 0 danno tutti e due 1. È l’unico caso in tutta l’aritmetica in cui un numero grande e uno piccolo danno esattamente lo stesso risultato.
Negli esercizi questo si sfrutta: in un’espressione piena di numeri, ogni potenza con esponente 0 si può sostituire con 1 senza fare un solo calcolo.
L’esponente 1
Una potenza con esponente 1 vale sempre la base stessa.
5¹ = 5 9¹ = 9 48¹ = 48
Questo è il caso facile: l’esponente dice quante volte prendere la base, e se la prendi una volta sola resta com’è.
Serve più di quanto sembri, perché permette di scrivere qualsiasi numero come una potenza. Il 7 è 7¹, e questo torna utile quando devi applicare le proprietà a un’espressione dove un fattore sembra non essere una potenza: 7 · 7³ diventa 7¹ · 7³ = 7⁴.
Quando la base è zero
Lo zero elevato a un esponente maggiore di 0 dà sempre zero.
0³ = 0 · 0 · 0 = 0
Qui non c’è niente di strano: moltiplicando lo zero per se stesso quante volte vuoi, il prodotto resta zero. È la stessa legge di annullamento del prodotto che vale nella moltiplicazione.
E l’1 si comporta all’opposto: 1ⁿ = 1 per qualunque esponente, perché moltiplicare l’uno per se stesso non lo cambia mai.
Il caso escluso: 0⁰
Resta un caso solo, ed è quello in cui le due regole si scontrano.
Con 0⁰ la regola dell’esponente 0 direbbe “fa 1”, mentre quella della base 0 direbbe “fa 0”. Non c’è modo di accontentarle tutte e due, quindi in aritmetica a 0⁰ non si assegna nessun valore: si dice che non ha significato.
Non è un’eccezione da imparare a memoria: è la conseguenza logica delle due regole che hai appena visto. Se le capisci, il caso limite lo ricostruisci da solo.
Se ti blocchi: guarda prima l’esponente, poi la base
Davanti a una potenza con 0 o 1 dentro, controlla nell’ordine.
L’esponente è 0? Il risultato è 1, e la base non serve nemmeno guardarla. A meno che la base sia zero: allora è il caso escluso.
L’esponente è 1? Il risultato è la base, riscritta uguale.
La base è 0 con esponente positivo? Il risultato è 0.
La base è 1? Il risultato è 1, qualunque sia l’esponente.
Quattro controlli, e coprono tutti i casi che possono comparire in verifica. L’unico da non sbagliare è il primo, perché 5⁰ = 1 sembra sempre un errore di stampa la prima volta che lo scrivi.
✎ Esercizio svolto
Calcola il valore dell'espressione 7⁰ + 4¹ − 5⁰.
- Sviluppa le potenze con esponente 0 Ogni potenza con esponente 0 e base diversa da zero vale 1: 7⁰ = 1 e 5⁰ = 1. Non conta quanto sia grande la base.
- Sviluppa la potenza con esponente 1 Con esponente 1 la potenza è uguale alla base: 4¹ = 4.
- Sostituisci ed esegui L'espressione diventa 1 + 4 − 1, quindi il risultato è 4.
- Nota il tranello Il 7 e il 5 di partenza erano numeri diversi, ma con esponente 0 valgono entrambi 1 e si annullano a vicenda.
Soluzione: 7⁰ + 4¹ − 5⁰ = 4.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
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Domande frequenti
Perché un numero elevato a 0 fa 1?
Perché aⁿ : aⁿ vale 1, ma con la regola del quoziente lo stesso calcolo dà a⁰. Per non contraddire la proprietà, a⁰ deve valere 1.
Quanto vale un numero elevato a 1?
Vale il numero stesso: l'esponente 1 dice di prendere la base una volta sola. Per esempio 9¹ = 9.
Quanto fa lo zero elevato a una potenza?
Se l'esponente è maggiore di zero il risultato è 0, perché si moltiplica zero per se stesso: 0³ = 0 · 0 · 0 = 0.
Quanto vale 0 elevato a 0?
Non ha significato. La regola dell'esponente 0 direbbe 1 e quella della base 0 direbbe 0: le due si contraddicono, quindi il caso è escluso.
1 elevato a qualsiasi numero quanto fa?
Fa sempre 1, perché moltiplicare l'1 per se stesso quante volte si vuole dà sempre 1.
Perché 5⁰ e 100⁰ danno lo stesso risultato?
Perché con esponente 0 la base non partecipa al calcolo: qualunque numero diverso da zero elevato a 0 dà 1.
L'esponente 0 si trova spesso nelle espressioni?
Sì, soprattutto come risultato di una divisione fra potenze uguali, come 3⁴ : 3⁴ = 3⁰ = 1.