La proprietà che le altre operazioni non hanno
La moltiplicazione ha quattro proprietà, e tre le condivide con l’addizione: commutativa, associativa, dissociativa. Sono comode, ma non sono la ragione per cui questa pagina conta.
La quarta è diversa da tutte, perché non parla solo di moltiplicazione: collega la moltiplicazione all’addizione. Si chiama proprietà distributiva, e dice che moltiplicare una somma equivale a moltiplicare i suoi pezzi e poi sommare.
(2 + 3) · 4 = 2 · 4 + 3 · 4
Sembra un dettaglio, ed è invece la cosa più usata di tutta l’aritmetica. È il motivo per cui funziona la moltiplicazione in colonna, è il trucco con cui si calcolano a mente prodotti come 25 · 12, ed è la regola che in terza media ti servirà per moltiplicare i polinomi.
Se di questa pagina ti resta una cosa sola, che sia la distributiva.
I termini: fattori e prodotto
La moltiplicazione somma tanti addendi uguali al primo numero quanti ne indica il secondo. I numeri di partenza si chiamano fattori, il risultato si chiama prodotto.
3 · 4 = 12, perché vuol dire “il 3 preso 4 volte”, cioè 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
Vedere la moltiplicazione come addizione ripetuta serve soprattutto all’inizio. Più avanti conviene un’altra immagine: 3 · 4 come un rettangolo di 3 righe e 4 colonne. Quella figura spiega da sola perché 3 · 4 e 4 · 3 danno lo stesso numero, e tornerà utile con le potenze e con le aree.
L’uno e lo zero: due comportamenti da non confondere
L’1 è l’elemento neutro: moltiplicare per 1 lascia il numero com’è.
2 · 1 = 2 e 11 · 1 = 11
Lo zero fa l’opposto: azzera tutto. Un prodotto vale zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero, e questa regola si chiama legge di annullamento del prodotto.
2 · 0 = 0 e 0 · 7 = 0
L’errore classico è scambiare gli elementi neutri fra le due operazioni: nell’addizione è lo zero, nella moltiplicazione è l’1. Il modo per non sbagliare è ricordare cosa “non fa niente”: nell’addizione aggiungere zero, nella moltiplicazione moltiplicare per uno.
La legge di annullamento non è solo teoria: in terza media sarà proprio lei a farti risolvere le equazioni scritte come prodotto uguale a zero.
Le tre proprietà in comune con l’addizione
Commutativa. Il prodotto non cambia cambiando l’ordine dei fattori.
3 · 2 = 6 e 2 · 3 = 6
Associativa. Si possono raggruppare i fattori come conviene.
3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24
Dissociativa. Si può spezzare un fattore nel prodotto di due numeri.
15 · 4 = (3 · 5) · 4 = 3 · 5 · 4 = 60
Come nell’addizione, servono a riordinare per far comparire numeri comodi. Con la moltiplicazione i numeri comodi sono soprattutto il 10 e il 100: in 2 · 17 · 5 conviene spostare il 5 accanto al 2, ottenere 10 e poi fare 10 · 17 = 170.
La proprietà distributiva
Per moltiplicare una somma per un numero si può moltiplicare ciascun termine per quel numero e poi addizionare i prodotti.
(2 + 3) · 4 = (2 · 4) + (3 · 4) = 8 + 12 = 20
Funziona allo stesso modo con la sottrazione.
(3 − 2) · 4 = (3 · 4) − (2 · 4) = 12 − 8 = 4
Come si usa a mente: spezzi il fattore scomodo in pezzi facili, di solito decine più unità.
25 · 12 = 25 · (10 + 2) = 250 + 50 = 300
7 · 98 = 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686
La seconda riga mostra il caso più elegante: quando un fattore è vicino a un numero tondo conviene toglierne un pezzo invece di aggiungerlo.
E c’è una cosa che vale la pena notare: la moltiplicazione in colonna che fai da anni è la proprietà distributiva. Quando moltiplichi 25 per il 2 delle unità e poi per l’1 delle decine e sommi i due risultati, stai facendo esattamente 25 · (10 + 2).
Moltiplicare per 10, 100, 1000
Con le potenze di 10 il calcolo si fa spostando la virgola.
Per moltiplicare per 10, 100, 1000 si aggiungono uno, due o tre zeri a destra. Se il numero ha una parte decimale, si sposta la virgola verso destra di uno, due o tre posti, aggiungendo zeri se mancano cifre.
7 · 10 = 70 7 · 100 = 700 7 · 1000 = 7000
Per moltiplicare per 0,1; 0,01; 0,001 la virgola si sposta invece verso sinistra.
17,35 · 0,1 = 1,735 17,35 · 0,01 = 0,1735 17,35 · 0,001 = 0,01735
Non è una regola diversa: 0,1 è un decimo, quindi moltiplicare per 0,1 è la stessa cosa che dividere per 10.
Se ti blocchi: cerca il 10 o avvicinati a un numero tondo
Davanti a una moltiplicazione scomoda hai due mosse, e una delle due funziona quasi sempre.
Cerca il 10 fra i fattori. Se ci sono un 2 e un 5, o un 4 e un 25, mettili insieme: fanno 10 o 100, e il resto viene da sé.
Guarda quanto dista un fattore da un numero tondo. Se è vicino, spezzalo con la distributiva: 98 diventa 100 − 2, 12 diventa 10 + 2, 47 diventa 50 − 3.
Se nessuna delle due funziona, allora la colonna è la strada giusta. Ma prova prima: nella maggior parte degli esercizi pensati per il calcolo a mente, una delle due mosse c’è sempre.
✎ Esercizio svolto
Calcola a mente 25 · 12 usando la proprietà distributiva.
- Spezza il fattore scomodo Il 12 non è comodo, ma si può scrivere come 10 + 2, e per 10 e per 2 sappiamo moltiplicare al volo.
- Distribuisci 25 · (10 + 2) = (25 · 10) + (25 · 2). Il 25 va moltiplicato per ciascuno dei due pezzi.
- Calcola i due prodotti 25 · 10 = 250 e 25 · 2 = 50.
- Somma 250 + 50 = 300. È lo stesso conto che faresti in colonna, ma scritto per esteso.
Soluzione: 25 · 12 = 300.
▶ Lo vedi nel gioco
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Domande frequenti
Come si chiamano i termini della moltiplicazione?
I numeri che si moltiplicano sono i fattori, il risultato è il prodotto. In 3 · 4 = 12 i fattori sono 3 e 4 e il prodotto è 12.
Quali sono le proprietà della moltiplicazione?
Commutativa, associativa, dissociativa e distributiva rispetto all'addizione e alla sottrazione.
Qual è l'elemento neutro della moltiplicazione?
È l'1: moltiplicare per 1 lascia il numero invariato, come in 11 · 1 = 11. Attenzione a non confonderlo con lo zero, che è l'elemento neutro dell'addizione.
Che cos'è la legge di annullamento del prodotto?
Dice che un prodotto vale zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero. Basta uno zero fra i fattori per azzerare tutto.
Che cos'è la proprietà distributiva?
Permette di moltiplicare una somma termine per termine: (2 + 3) · 4 = 2 · 4 + 3 · 4. Vale anche con la sottrazione.
Come si moltiplica per 10, 100 o 1000?
Si aggiungono uno, due o tre zeri, oppure si sposta la virgola verso destra di altrettanti posti: 7 · 100 = 700.
Perché moltiplicare per 0,1 rimpicciolisce il numero?
Perché 0,1 è un decimo: moltiplicare per un decimo equivale a dividere per 10, quindi la virgola si sposta verso sinistra.