Le proprietà non sono definizioni da studiare: sono mosse
Commutativa, associativa, dissociativa. Nel libro sono tre frasi da imparare, ognuna con il suo esempio, e la sensazione è di stare memorizzando qualcosa di inutile: certo che 2 + 5 fa come 5 + 2, chi ne dubitava?
Il punto è che quelle tre frasi non servono a dimostrare qualcosa che già sai. Servono a darti il permesso di fare tre mosse su un calcolo:
- spostare un addendo (commutativa);
- unire due addendi in uno (associativa);
- spezzare un addendo in due (dissociativa).
E le mosse hanno tutte lo stesso scopo: far comparire un numero tondo, perché con le decine e i centinaia i conti si fanno a mente.
Letta così, questa pagina smette di essere teoria e diventa la cassetta degli attrezzi che userai in ogni espressione per i prossimi tre anni.
I termini: addendi e somma
L’addizione unisce due o più numeri contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo. I numeri di partenza si chiamano addendi, il risultato si chiama somma.
3 + 4 = 7
3 e 4 sono gli addendi, 7 è la somma.
I nomi sembrano un dettaglio, ma servono davvero: quando un problema dice “aumenta il primo addendo di 5”, devi sapere di quale numero sta parlando.
Lo zero, l’elemento neutro
Se uno dei due addendi è zero, la somma è uguale all’altro addendo. Per questo lo zero si chiama elemento neutro dell’addizione: entra nel calcolo senza cambiare niente.
2 + 0 = 2 e 0 + 5 = 5
Ogni operazione ha il suo elemento neutro, e non è sempre lo stesso: per la moltiplicazione è l’1, non lo zero. Confonderli è uno degli errori più comuni in verifica.
Prima mossa: spostare (proprietà commutativa)
La somma non cambia se si cambia in qualsiasi modo l’ordine degli addendi.
2 + 5 = 7 e 5 + 2 = 7
Da sola sembra ovvia. Diventa utile quando gli addendi sono tanti: in 8 + 37 + 2 puoi spostare il 2 accanto all’8, e all’improvviso vedi un 10.
Come si usa: scorri gli addendi e cerca due cifre finali che sommate danno 10. Quelle due vanno avvicinate.
Seconda mossa: unire (proprietà associativa)
La somma di più addendi non cambia se a due di essi si sostituisce la loro somma.
3 + 5 + 7 = (3 + 5) + 7 = 8 + 7 = 15
È la mossa che segue sempre la prima: prima avvicini gli addendi comodi, poi li raggruppi e li sostituisci con il loro totale.
Come si usa: dopo aver riordinato, metti le parentesi attorno alla coppia che fa il numero tondo e risolvila per prima.
Terza mossa: spezzare (proprietà dissociativa)
La somma non cambia se a un addendo se ne sostituiscono due la cui somma dà quell’addendo.
8 + 7 = 8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5 = 10 + 5 = 15
È l’associativa al contrario, e serve quando non c’è una coppia già pronta a fare un numero tondo: te la costruisci tu.
Come si usa: guarda quanto manca al primo addendo per arrivare alla decina, poi togli quella quantità al secondo. In 8 + 7 mancano 2, quindi spezzi il 7 in 2 + 5.
È esattamente il ragionamento che fai senza accorgertene quando calcoli a mente, e ha un nome ufficiale.
Le tre mosse insieme
Le proprietà si usano quasi sempre in fila, in questo ordine.
- Guarda tutti gli addendi e cerca le coppie che fanno un numero tondo.
- Sposta (commutativa) per avvicinarle.
- Unisci (associativa) e risolvi prima quelle.
- Se nessuna coppia funziona, spezza un addendo (dissociativa) per costruirtene una.
26 + 47 + 4 + 13 → 26 + 4 + 47 + 13 → 30 + 60 = 90
Quattro numeri qualsiasi diventati due somme facili, senza scrivere nulla in colonna.
Se ti blocchi: guarda solo l’ultima cifra
Quando hai una fila di addendi e non sai da dove partire, non guardare i numeri interi: guarda le ultime cifre.
Cerca due cifre che sommate facciano 10: 7 e 3, 6 e 4, 8 e 2, 9 e 1, 5 e 5. Quelle due coppie sono le uniche che ti interessano.
Se le trovi, spostale vicine e sommale per prime. Se non le trovi, prendi l’addendo più grande e chiediti quanto gli manca per arrivare alla decina: quella quantità la prendi in prestito da un altro addendo.
Le proprietà dell’addizione servono tutte a rendere legale questo gioco, e in verifica è proprio quello che ti fa finire prima.
✎ Esercizio svolto
Calcola a mente 47 + 158 + 53 usando le proprietà dell'addizione.
- Cerca la coppia che fa un numero tondo Guarda le cifre finali: 47 finisce per 7 e 53 finisce per 3. Sommandole viene 100, un numero comodissimo.
- Avvicinali con la proprietà commutativa Cambio l'ordine degli addendi per metterli vicini: 47 + 53 + 158.
- Raggruppali con la proprietà associativa Metto insieme i due che mi interessano: (47 + 53) + 158 = 100 + 158.
- Concludi 100 + 158 = 258, e questa somma si fa senza carta.
Soluzione: 47 + 158 + 53 = 258.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
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Domande frequenti
Come si chiamano i termini dell'addizione?
I numeri che si sommano sono gli addendi, il risultato è la somma. In 3 + 4 = 7 gli addendi sono 3 e 4 e la somma è 7.
Quali sono le proprietà dell'addizione?
Commutativa (si può cambiare l'ordine), associativa (si possono raggruppare gli addendi) e dissociativa (si può spezzare un addendo in due).
Qual è l'elemento neutro dell'addizione?
È lo zero: sommare zero a un numero non lo cambia. Per esempio 2 + 0 = 2 e 0 + 5 = 5.
Che cos'è la proprietà commutativa dell'addizione?
Dice che cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia: 2 + 5 e 5 + 2 danno entrambi 7.
A cosa serve la proprietà associativa?
A raggruppare gli addendi come conviene, per far comparire numeri tondi e calcolare più in fretta a mente.
Che differenza c'è tra proprietà associativa e dissociativa?
L'associativa unisce due addendi in uno solo, la dissociativa fa il contrario e ne spezza uno in due. Sono la stessa mossa nei due versi.
L'addizione si può fare con più di due numeri?
Sì, e proprio per questo servono le proprietà: con tre o più addendi puoi scegliere l'ordine e i raggruppamenti che rendono il calcolo più facile.