Il Sistema di Numerazione Decimale e il Valore Posizionale

Dieci cifre bastano, perché conta il posto

Con dieci simboli soltanto riusciamo a scrivere qualunque numero: mille, un milione, un miliardo. Non è ovvio, ed è il risultato di un’invenzione precisa.

L’invenzione non sono le dieci cifre: è il fatto che la stessa cifra vale cose diverse a seconda di dove si trova. Nel numero 55 il primo 5 vale cinquanta e il secondo vale cinque, e sono lo stesso simbolo.

Prova a immaginare un sistema in cui la posizione non conta e ogni valore ha il suo simbolo: per scrivere numeri grandi ti servirebbero simboli sempre nuovi. È quello che succede con i numeri romani, dove I, V, X, L, C, D, M valgono sempre uguale ovunque li metti, e infatti provare a fare una moltiplicazione in numeri romani è un incubo.

Il nostro sistema si chiama decimale per le dieci cifre e posizionale per il posto. La seconda parola è quella che conta.

Le dieci cifre e gli ordini di grandezza

Le cifre sono dieci, e si comincia a contare da zero:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ogni volta che si raggiungono dieci unità di un certo tipo, si forma un’unità di ordine superiore:

• dieci unità formano una decina (10);
• dieci decine formano un centinaio (100);
• dieci centinaia formano un migliaio (1.000);
• dieci migliaia formano una decina di migliaia (10.000);
• e così via fino al milione e oltre.

Nota il ritmo: si moltiplica sempre per 10. È il motivo per cui gli ordini si scrivono comodamente come potenze di 10: 10, 100 e 1000 sono 10¹, 10² e 10³.

Il valore posizionale

Il valore di una cifra si ottiene moltiplicandola per l’ordine della posizione che occupa.

Nel numero 235: il 2 vale 2 centinaia (200), il 3 vale 3 decine (30), il 5 vale 5 unità.

Quindi 235 = 200 + 30 + 5 = 2 · 10² + 3 · 10¹ + 5 · 10⁰.

Questa scrittura, che si chiama forma polinomiale, sembra una complicazione inutile e invece è quello che fai davvero quando calcoli in colonna o quando applichi la proprietà distributiva: stai lavorando su unità, decine e centinaia separatamente.

Lo zero: la cifra che tiene il posto

Fra le dieci cifre ce n’è una che fa un lavoro diverso da tutte le altre.

Lo zero non conta niente, ma occupa una posizione. In 205 lo zero dice che non ci sono decine, e senza di lui il 2 e il 5 finirebbero uno accanto all’altro dando 25, un numero completamente diverso.

È per questa ragione che lo zero è considerato una delle invenzioni più importanti della matematica: senza un simbolo per il “niente”, un sistema posizionale non può funzionare.

La linea dei numeri: precedente e successivo

I numeri naturali si dispongono in ordine sulla linea dei numeri. Ogni numero, tranne lo zero, ha:

• un successivo, con un’unità in più;
• un precedente, con un’unità in meno.

199 è il precedente di 200, e 201 è il suo successivo.

Verso destra i numeri crescono, verso sinistra calano. È un’immagine che tornerà utile in continuazione: con le frazioni, con i decimali e in seconda media con i numeri negativi, che vanno a occupare la parte di retta a sinistra dello zero.

Confrontare due numeri

Per stabilire quale di due numeri è maggiore si procede così:

1. è maggiore quello con più cifre;
2. a parità di cifre, si confronta la prima cifra a sinistra;
3. se è uguale, si passa alla successiva, fino a trovarne una diversa.

235 > 132, perché 2 è maggiore di 1.

473 < 478, perché a parità di centinaia e decine 3 è minore di 8.

Il motivo per cui si guarda da sinistra è il valore posizionale: un centinaio in più vale più di qualunque quantità di decine e unità. Alla prima cifra diversa il confronto è già deciso, e tutto quello che viene dopo non può ribaltarlo.

Se ti blocchi: scrivi il numero in colonna, ordine per ordine

Quando ti chiedono il valore di una cifra e ti confondi, scrivi il numero mettendo un’etichetta sopra ogni posizione, partendo da destra: unità, decine, centinaia, migliaia.

Da destra e non da sinistra: le unità sono sempre l’ultima cifra, mentre l’ordine più alto dipende da quanto è lungo il numero.

In 3.482 conti da destra: 2 unità, 8 decine, 4 centinaia, 3 migliaia. Il valore del 4 è quindi 400, non 4.

Lo stesso metodo funziona per il confronto: incolonna i due numeri allineandoli a destra e confrontali cifra per cifra partendo dalla colonna più a sinistra. Se uno dei due è più corto, gli mancano proprio gli ordini più alti, ed è già perso in partenza.