Le uniche potenze che non si calcolano
Per sapere quanto fa 3⁴ devi moltiplicare: 3 per 3, poi per 3, poi per 3. Un po’ di lavoro.
Per sapere quanto fa 10⁴ non devi calcolare niente. Guardi l’esponente, scrivi un 1 e dopo ci metti quattro zeri:
10⁴ = 10.000
Le potenze di 10 sono le uniche che si leggono invece di calcolarle, e per questo sono le prime da imparare.
Il motivo è che il nostro modo di contare va a gruppi di dieci: dieci unità fanno una decina, dieci decine un centinaio, dieci centinaia un migliaio. Ogni gradino in su è una moltiplicazione per 10, cioè una potenza di 10 in più. Le potenze di 10 non sono un argomento a parte: sono lo scheletro dei numeri che usi da sempre.
La regola degli zeri
10ⁿ è un 1 seguito da n zeri.
- 10¹ = 10 (uno zero)
- 10² = 100 (due zeri)
- 10³ = 1.000 (tre zeri)
- 10⁶ = 1.000.000 (sei zeri, un milione)
- 10⁹ = 1.000.000.000 (nove zeri, un miliardo)
Attenzione a una cosa: l’esponente conta gli zeri, non le cifre. 10⁶ ha sei zeri, ma sette cifre, perché davanti c’è anche l’1. Se conti le cifre invece degli zeri sbagli sempre di uno.
Un altro modo di dirlo, che aiuta a non confondersi: l’esponente dice quanti posti deve salire l’1. In 10³ l’1 parte dalle unità e sale di tre posti, fino alle migliaia.
Il trucco per moltiplicare
Moltiplicare un numero per una potenza di 10 vuol dire attaccargli quegli zeri.
5 × 10² = 5 × 100 = 500 (due zeri)
7 × 10³ = 7 × 1.000 = 7.000 (tre zeri)
Funziona perché ogni zero fa salire tutte le cifre di un posto, e a sinistra ogni posto vale dieci volte tanto. Quando i numeri hanno la virgola il gioco cambia un po’, e lo vedi in moltiplicare e dividere per 10, 100 e 1000.
A cosa servono davvero
Servono quando i numeri diventano enormi e scriverli per esteso non è più pratico.
Guarda la differenza:
la distanza fra la Terra e il Sole è 150.000.000 km
oppure 150 × 10⁶ km
Il secondo modo si legge in un attimo e non ti fa contare gli zeri con il dito. Quando poi il numero si scrive come 1,5 × 10⁸, si chiama notazione scientifica, ed è il modo in cui gli scienziati scrivono tutte le misure molto grandi o molto piccole.
Qualche numero del mondo reale scritto così:
- la velocità della luce: circa 3 × 10⁵ km al secondo, cioè 300.000;
- gli abitanti della Terra: circa 8 × 10⁹, cioè otto miliardi;
- le cellule del tuo corpo: circa 10¹³, cioè un 1 con tredici zeri.
L’ultimo numero, scritto per esteso, sarebbe 10.000.000.000.000. Ecco perché conviene la potenza.
Se ti blocchi: conta gli zeri con il dito, in tutti e due i versi
La regola funziona nei due sensi, e vale la pena usarla anche al contrario.
Da potenza a numero: guarda l’esponente, scrivi 1 e conta gli zeri mentre li fai. 10⁵ → 1 e poi cinque zeri → 100.000.
Da numero a potenza: conta gli zeri dopo l’1 e quel numero è l’esponente. 1.000.000 → sei zeri → 10⁶.
Il secondo verso ti serve più di quanto pensi, perché ti fa riconoscere le potenze di 10 nascoste dentro i problemi. Quando vedi 100, 1.000 o 1.000.000, sotto sotto ci sono 10², 10³ e 10⁶, e da lì il calcolo diventa facile.
✎ Esercizio svolto
Scrivi 10⁵ sotto forma di numero, poi calcola 6 × 10.000.
- Guarda l'esponente In 10⁵ l'esponente è 5, quindi servono cinque zeri dopo l'1: 100.000.
- Riconosci la potenza nascosta Il 10.000 è un 1 con quattro zeri, quindi è 10⁴.
- Moltiplica aggiungendo gli zeri Moltiplicare per 10⁴ vuol dire attaccare quattro zeri al 6: 60.000.
- Controlla contando 60.000 ha quattro zeri dopo il 6, come chiedeva l'esponente.
Soluzione: 10⁵ = 100.000 e 6 × 10.000 = 60.000.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Come si calcola una potenza di 10?
Si scrive un 1 seguito da tanti zeri quanti ne indica l'esponente: 10⁴ = 10.000, con quattro zeri.
Quanti zeri ha 10⁶?
Sei zeri: 10⁶ = 1.000.000, cioè un milione.
L'esponente conta gli zeri o le cifre?
Gli zeri. 10⁶ ha sei zeri ma sette cifre, perché c'è anche l'1 davanti.
Come si moltiplica un numero per una potenza di 10?
Si attaccano al numero tanti zeri quanti ne ha la potenza: 7 × 1.000 = 7.000.
A cosa servono le potenze di 10?
A scrivere in modo corto i numeri molto grandi, come le distanze nello spazio, senza riempire il foglio di zeri.
Che cos'è la notazione scientifica?
Un modo di scrivere i numeri grandi come un numero piccolo moltiplicato per una potenza di 10, come 1,5 × 10⁸ km.
Perché proprio il 10?
Perché il nostro sistema di numerazione conta a gruppi di dieci: ogni volta che dieci unità diventano una decina, si sale di una potenza di 10.