È il numero più piccolo, ma comanda lui
In una potenza ci sono due numeri: uno grande e uno piccolino, scritto in alto a destra.
2⁴
Verrebbe da pensare che comandi il numero grande. Invece è quello piccolo a decidere quasi tutto, ed è per questo che si sbaglia così spesso.
Guarda cosa succede se lasci ferma la base e muovi solo l’esponente di uno:
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
Ogni gradino raddoppia. Con 2¹⁰ sei già a 1024, e con 2²⁰ superi il milione. Quel numerino non è una decorazione: è la manopola che fa esplodere il risultato.
E allora capisci anche l’errore più comune: 2³ non fa 6. Se l’esponente fosse un normale fattore, il risultato crescerebbe piano piano. Invece l’esponente non entra nel conto: dice solo quante volte scrivere la base.
Base ed esponente
Una potenza è la moltiplicazione ripetuta di uno stesso numero.
2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ = 16
- il 2 è la base, il numero che si ripete;
- il 4 è l’esponente, e dice quante volte ripeterlo;
- il 16 è il risultato, che si chiama anch’esso potenza.
Serve soprattutto a scrivere corto. Prova a scrivere per esteso 2 moltiplicato per se stesso venti volte: riempi mezza riga. Con 2²⁰ hai finito in tre caratteri.
Come si legge
Si dice prima la base, poi “alla”, poi l’esponente:
- 2³ si legge “due alla terza”, e vale 2 × 2 × 2 = 8;
- 5² si legge “cinque alla seconda”, e vale 5 × 5 = 25;
- 10⁴ si legge “dieci alla quarta”, e vale 10.000.
Due esponenti hanno anche un secondo nome: il 2 si dice al quadrato e il 3 si dice al cubo.
Perché quadrato e cubo
Non sono nomi scelti a caso: vengono dalle figure.
3² = 9 è il numero di quadretti di un quadrato con il lato di 3 quadretti: 3 righe da 3.
3³ = 27 è il numero di cubetti di un cubo con lo spigolo di 3: sono 3 piani sovrapposti, ognuno da 9 cubetti.
È lo stesso motivo per cui più avanti scriverai le aree in cm² e i volumi in cm³. Quel numerino in alto ti dice quante dimensioni stai misurando: una riga, una superficie o uno spazio.
L’errore da non fare mai
Mettiamoli uno accanto all’altro:
2 × 3 = 6 ← moltiplicazione normale
2³ = 2 × 2 × 2 = 8 ← potenza
Sono due operazioni diverse, anche se ci sono gli stessi due numeri. Il segno × dice “moltiplica insieme questi due”; l’esponente dice “ripeti questo, tante volte”.
Nel dubbio, scrivi la potenza per esteso prima di calcolarla. Ci metti tre secondi e non sbagli.
L’esponente 1
Un numero elevato alla prima resta se stesso.
7¹ = 7
Ha senso: l’esponente dice quante volte prendere la base, e se la prendi una volta sola non succede niente.
Sembra inutile, e invece serve: vuol dire che ogni numero è già una potenza, anche quando il numerino in alto non è scritto.
Se ti blocchi: scrivila per esteso e vai a piccoli passi
Quando una potenza ti mette in difficoltà, fai due cose.
Prima scrivila per esteso. 3⁴ diventa 3 × 3 × 3 × 3. Adesso vedi con i tuoi occhi che i tre sono quattro, e che il 4 non partecipa alla moltiplicazione.
Poi calcola un pezzo alla volta, da sinistra:
3 × 3 = 9 → 9 × 3 = 27 → 27 × 3 = 81
Non provare a fare tutto insieme a mente: è lì che si sbaglia. Tre moltiplicazioni facili valgono più di un calcolo difficile.
E se la base è 10, non serve nemmeno moltiplicare: c’è una scorciatoia che vedrai nelle potenze di 10.
✎ Esercizio svolto
Scrivi la moltiplicazione 3 × 3 × 3 × 3 sotto forma di potenza e calcolane il valore.
- Trova il numero che si ripete È sempre il 3: quella è la base.
- Conta quante volte compare Il 3 compare quattro volte, quindi l'esponente è 4.
- Scrivi la potenza Base 3, esponente 4: si scrive 3⁴.
- Calcola 3 × 3 = 9, poi 9 × 3 = 27, poi 27 × 3 = 81. Fai un passo alla volta invece di tutto insieme.
Soluzione: 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴ = 81.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
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Domande frequenti
Che cos'è una potenza in parole semplici?
È un modo corto di scrivere lo stesso numero moltiplicato per se stesso più volte. Per esempio 2⁴ vuol dire 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
Qual è la differenza tra base ed esponente?
La base è il numero che si moltiplica, l'esponente dice quante volte ripeterlo. In 5² la base è 5 e l'esponente è 2.
Perché 2³ non fa 6?
Perché l'esponente non si moltiplica per la base: dice solo quante volte scriverla. 2³ è 2 × 2 × 2 = 8, mentre 2 × 3 = 6 è un'altra operazione.
Come si legge 5²?
Si legge "cinque al quadrato" oppure "cinque alla seconda", e vale 5 × 5 = 25.
Quanto vale un numero elevato alla prima?
Vale se stesso: 7¹ = 7, perché lo prendi una volta sola.
Perché l'esponente 2 si chiama quadrato e il 3 cubo?
Perché 3² è il numero di quadretti di un quadrato di lato 3, e 3³ è il numero di cubetti di un cubo di spigolo 3.
Le potenze crescono in fretta?
Moltissimo. Le potenze di 2 fanno 2, 4, 8, 16, 32, 64: a ogni passo il risultato raddoppia.