Immagina una griglia di quadretti
Di solito la moltiplicazione si spiega come un’addizione veloce: 3 × 4 vuol dire 3 + 3 + 3 + 3. È vero, e all’inizio aiuta.
Ma c’è un’immagine che aiuta molto di più, e ti servirà per anni: 3 × 4 è una griglia di 3 righe e 4 colonne.
Prendi il quaderno a quadretti e coloranne 3 righe da 4 quadretti ciascuna. Quanti quadretti hai colorato? Dodici. Ecco 3 × 4 = 12.
Sembra un dettaglio, e invece questa griglia risponde da sola a quasi tutte le domande di questa pagina:
- perché 3 × 4 fa come 4 × 3? Perché è la stessa griglia girata: gira il quaderno di lato e le 3 righe da 4 diventano 4 righe da 3. I quadretti colorati non sono cambiati.
- perché la distributiva funziona? Perché puoi tagliare la griglia in due pezzi e contarli separatamente.
- perché l’area del rettangolo è base per altezza? Perché un rettangolo è proprio una griglia di quadretti.
Tienila da parte: la ritroverai con le potenze e con le aree.
Fattori e prodotto
La moltiplicazione si scrive con il segno ×.
3 × 4 = 12
I numeri che moltiplichi (3 e 4) si chiamano fattori, il risultato (12) si chiama prodotto.
L’uno e lo zero
Moltiplicare per 1 non cambia niente: per questo l’1 è l’elemento neutro della moltiplicazione.
2 × 1 = 2 e 11 × 1 = 11
Moltiplicare per zero invece azzera tutto.
2 × 0 = 0 e 0 × 7 = 0
Con la griglia si vede benissimo: moltiplicare per zero vuol dire disegnare zero righe, e una griglia senza righe non ha nessun quadretto.
Attenzione a non confondere i due elementi neutri: nell’addizione è lo zero, nella moltiplicazione è l’uno.
Moltiplicare per 10, 100 e 1000
Basta aggiungere a destra uno, due o tre zeri.
7 × 10 = 70 · 7 × 100 = 700 · 7 × 1000 = 7000
Funziona perché ogni zero sposta tutte le cifre di un posto verso sinistra, e a sinistra ogni posto vale dieci volte tanto.
Le proprietà
Commutativa: gira la griglia
3 × 2 = 6 e 2 × 3 = 6
Questa proprietà ti fa risparmiare metà tabelline: se sai 7 × 3, sai già anche 3 × 7.
Associativa: raggruppa come vuoi
3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24
Serve a far comparire numeri comodi. In 2 × 17 × 5 conviene mettere insieme 2 e 5, che fanno 10, e poi fare 10 × 17 = 170.
Dissociativa: spezza un fattore
15 × 4 = 15 × 2 × 2 = 30 × 2 = 60
Moltiplicare due volte per 2 è più facile che moltiplicare per 4.
Distributiva: taglia la griglia
Per moltiplicare una somma, moltiplichi ogni pezzo e poi sommi.
(2 + 3) × 4 = (2 × 4) + (3 × 4) = 8 + 12 = 20
Funziona anche con la sottrazione:
(3 − 2) × 4 = (3 × 4) − (2 × 4) = 12 − 8 = 4
Questa è la proprietà più utile di tutte, e fra poco vedrai perché.
La moltiplicazione in colonna
Si moltiplica cifra per cifra partendo dalle unità, e si riporta quando il risultato supera il 9.
234 × 3: 3 × 4 = 12, scrivo 2 e riporto 1; 3 × 3 = 9, più 1 fa 10, scrivo 0 e riporto 1; 3 × 2 = 6, più 1 fa 7. Risultato 702.
Se il moltiplicatore ha due cifre, si fanno due prodotti e si sommano. Il secondo va scritto spostato di un posto a sinistra.
23 × 12 = 46 + 230 = 276
Perché spostato? Perché quell’1 non è un uno: è una decina. Stai facendo 23 × 10, quindi il risultato deve valere dieci volte tanto, e lo si ottiene incolonnandolo un posto più in là.
E indovina qual è la proprietà che sta dietro tutto questo: la distributiva. Fare 23 × 12 come 23 × 2 più 23 × 10 è esattamente tagliare la griglia in due pezzi.
Se ti blocchi: spezza il numero difficile
Quando una moltiplicazione ti sembra impossibile, spezza uno dei due fattori in pezzi che sai già fare.
6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4 = 60 + 24 = 84
8 × 9 = 8 × 10 − 8 = 80 − 8 = 72
Nel primo caso hai tagliato il 14 in 10 + 4. Nel secondo hai fatto una cosa furba: invece di 9 hai fatto 10 e poi hai tolto una volta l’8.
Con il 10 sai già moltiplicare qualsiasi cosa, quindi conviene sempre passare da lì.
In prima media la stessa operazione si riprende per intero, termini compresi: la moltiplicazione dalla A alla Z.
✎ Esercizio svolto
Calcola (5 + 2) × 6 usando la proprietà distributiva.
- Immagina la griglia È una griglia alta 7 righe (5 + 2) e larga 6 colonne. Puoi tagliarla in due pezzi: uno da 5 righe e uno da 2.
- Moltiplica ogni pezzo Il primo pezzo ha 5 × 6 = 30 quadretti, il secondo 2 × 6 = 12.
- Rimetti insieme 30 + 12 = 42, che è il numero di quadretti di tutta la griglia.
- Controlla Facendo prima la parentesi: 5 + 2 = 7 e 7 × 6 = 42. Stesso risultato.
Soluzione: (5 + 2) × 6 = 42.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Quali sono le proprietà della moltiplicazione?
La commutativa, l'associativa, la dissociativa e la distributiva rispetto ad addizione e sottrazione.
Come si chiamano i numeri della moltiplicazione?
I numeri che si moltiplicano sono i fattori, il risultato è il prodotto. In 3 × 4 = 12 i fattori sono 3 e 4.
Perché 3 × 4 fa come 4 × 3?
Perché è la stessa griglia girata: 3 righe da 4 quadretti o 4 righe da 3 quadretti hanno sempre 12 quadretti.
Qual è l'elemento neutro della moltiplicazione?
L'uno: moltiplicare per 1 lascia il numero com'è. Moltiplicare per zero invece dà sempre zero.
Come si moltiplica per 10, 100 o 1000?
Si aggiungono a destra uno, due o tre zeri: 7 × 10 = 70, 7 × 100 = 700.
Che cos'è la proprietà distributiva?
Permette di moltiplicare una somma pezzo per pezzo: (2 + 3) × 4 è uguale a 2 × 4 più 3 × 4.
Perché in colonna il secondo prodotto si scrive spostato?
Perché la seconda cifra del moltiplicatore sono decine, quindi quel prodotto vale dieci volte tanto e va incolonnato una posizione più a sinistra.