Il prestito è il riporto al contrario
Nell’addizione hai visto che il riporto è un cambio: dieci monete da un euro diventano una banconota da dieci.
Nella sottrazione succede la stessa cosa, ma nel verso opposto. Quando in colonna ti trovi con 2 − 7 e il 2 è troppo piccolo, vai in cassa e fai il cambio contrario: prendi una banconota da dieci e te la fai dare in dieci monete.
Adesso al posto di 2 unità ne hai 12, e la sottrazione si può fare. Naturalmente la decina che hai speso non c’è più, ed è per questo che la cifra della colonna a sinistra diventa più piccola di uno.
Non stai togliendo niente al numero e non lo stai cambiando: lo stai solo scrivendo in un altro modo. 32 diventa “2 decine e 12 unità”, che è ancora 32.
Se tieni a mente questo, il prestito smette di essere quella cosa strana con i puntini sopra i numeri.
Minuendo, sottraendo, differenza
La sottrazione toglie un numero da un altro. Si scrive con il segno −.
7 − 4 = 3
Il primo numero (7) è il minuendo, quello che togli (4) è il sottraendo, il risultato (3) è la differenza.
I nomi si ricordano dal significato: il minuendo è quello che viene diminuito, il sottraendo è quello che viene sottratto.
Qui l’ordine conta
Nell’addizione puoi scambiare i numeri quanto vuoi. Nella sottrazione no.
7 − 4 = 3, ma 4 − 7 è un’altra cosa.
Con i numeri che conosci adesso, 4 − 7 non si può nemmeno fare: non puoi togliere 7 caramelle se ne hai solo 4. Più avanti scoprirai i numeri sotto lo zero, ma il risultato resterà comunque diverso.
Quindi la sottrazione non è commutativa, ed è la differenza più importante rispetto all’addizione.
Il controllo che non sbaglia mai
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione: una disfa quello che fa l’altra.
Se 7 − 4 = 3, allora 3 + 4 = 7.
Da qui esce un controllo che costa due secondi: somma la differenza al sottraendo. Se torna il minuendo, hai fatto giusto. Se non torna, c’è un errore.
Fallo sempre nelle sottrazioni in colonna con il prestito: sono quelle in cui si sbaglia di più.
La proprietà invariantiva
Se aggiungi o togli lo stesso numero al minuendo e al sottraendo, la differenza non cambia.
43 − 19 = (43 + 1) − (19 + 1) = 44 − 20 = 24
Perché funziona? Immagina due bambini su una scala, uno al gradino 43 e uno al gradino 19. Fra loro ci sono 24 gradini. Se salgono tutti e due di un gradino, la distanza fra loro resta 24: si sono spostati insieme.
Come si usa: guarda il sottraendo e chiediti quanto gli manca per diventare tondo. Poi aggiungi quel tanto a tutti e due i numeri.
52 − 18 → al 18 mancano 2 → 54 − 20 = 34
Togliere una decina tonda è facilissimo, ed è tutto il trucco.
La sottrazione in colonna
Si incolonnano le cifre, unità sotto unità, e si parte da destra.
32 − 17: non posso fare 2 − 7, quindi cambio una decina in dieci unità e ottengo 12 − 7 = 5. Al 3 delle decine ne resta 2, quindi 2 − 1 = 1. Risultato 15.
Se ti blocchi: conta in avanti invece che all’indietro
C’è un secondo modo di vedere la sottrazione, e a mente è molto più veloce: invece di chiederti “quanto resta se tolgo”, chiediti “quanto manca per arrivare”.
Per 52 − 18: da 18 a 20 mancano 2, da 20 a 50 mancano 30, da 50 a 52 mancano 2. In tutto 2 + 30 + 2 = 34.
Sembra più lungo scritto, ma provalo: contare in avanti viene naturale e non ha bisogno di nessun prestito.
È anche quello che fa il cassiere quando ti dà il resto: parte da quanto hai speso e risale fino a quanto hai dato.
In prima media la stessa operazione si riprende per intero, termini compresi: la sottrazione dalla A alla Z.
✎ Esercizio svolto
Calcola a mente 52 − 18 usando la proprietà invariantiva.
- Guarda il numero da togliere Il 18 è scomodo. Il numero tondo più vicino è 20, e per arrivarci mancano 2.
- Aggiungi 2 a tutti e due 18 + 2 = 20 e 52 + 2 = 54. Aggiungendo la stessa quantità a entrambi, la differenza resta identica.
- Fai il conto facile 54 − 20 = 34.
- Controlla con l'addizione 34 + 18 = 52, cioè il numero di partenza. È giusto.
Soluzione: 52 − 18 = 34.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
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Domande frequenti
Come si chiamano i numeri della sottrazione?
Il primo è il minuendo, quello che si toglie è il sottraendo, il risultato è la differenza.
La sottrazione è commutativa?
No. L'ordine conta: 7 − 4 fa 3, mentre 4 − 7 non si può fare con i numeri che conosci in quarta.
Che cos'è il prestito nella sottrazione in colonna?
Quando la cifra sopra è più piccola di quella sotto, si prende una decina dalla colonna a sinistra e la si cambia in dieci unità.
Che cos'è la proprietà invariantiva?
Aggiungendo o togliendo lo stesso numero al minuendo e al sottraendo, la differenza non cambia. Serve a rendere tondo il sottraendo.
Come controllo se una sottrazione è giusta?
Sommi la differenza al sottraendo: se ottieni il minuendo, il conto è corretto.
Perché il prestito e il riporto si somigliano?
Perché sono lo stesso cambio nei due versi: nell'addizione dieci unità diventano una decina, nella sottrazione una decina torna a essere dieci unità.
Si può togliere zero?
Sì, e non cambia niente: 7 − 0 = 7. Attenzione però, 0 − 7 è tutta un'altra cosa.