La divisione fa due domande diverse
“12 diviso 4” sembra una domanda sola, e invece ne nasconde due, che nella vita di tutti i giorni sono situazioni completamente diverse.
Prima domanda: ho 12 caramelle da spartire fra 4 bambini. Quante ne tocca a ciascuno?
Seconda domanda: ho 12 caramelle e voglio fare pacchetti da 4. Quanti pacchetti mi vengono?
Il calcolo è identico e dà 3 in tutti e due i casi, ma il 3 significa cose diverse: nella prima è “3 caramelle a testa”, nella seconda è “3 pacchetti”.
Sapere che le domande sono due serve nei problemi, dove il testo non dice mai “fai una divisione”: dice “ripartisci in parti uguali” oppure “quante volte ci sta”. Riconoscere quale delle due è, ti dice anche che cosa scrivere nella risposta finale, e la risposta finale è dove si perdono i punti.
I termini: dividendo, divisore, quoziente
La divisione dati due numeri, con il secondo diverso da zero, trova un terzo numero che moltiplicato per il secondo dà il primo. È l’operazione inversa della moltiplicazione.
12 : 4 = 3
12 è il dividendo, 4 è il divisore, 3 è il quoziente.
Come nella sottrazione, l’ordine conta: 12 : 4 e 4 : 12 non sono la stessa cosa. La divisione non è commutativa.
E come nella sottrazione c’è una prova rapida: moltiplica il quoziente per il divisore e controlla se ottieni il dividendo. Se c’è il resto, aggiungilo: 3 · 4 + 0 = 12.
Il resto: quando la domanda non ha risposta intera
Non sempre un numero sta un numero esatto di volte in un altro. Quello che avanza si chiama resto.
13 : 5 = 2 con resto 3
La divisione si dice esatta quando il resto è zero. Quando non lo è, il quoziente da solo non basta a descrivere il risultato e va scritto insieme al resto.
Il resto ha una regola che vale sempre: è più piccolo del divisore. Se ti viene un resto uguale o maggiore del divisore, hai sbagliato il quoziente, perché ci stava ancora una volta. È un controllo che dura un secondo.
Il resto è anche il concetto che sta dietro a tutto il capitolo successivo del programma: quando il resto è zero si dice che il dividendo è divisibile per il divisore, ed è da lì che nascono i divisori di un numero e i criteri di divisibilità.
Zero e uno: i quattro casi da sapere a memoria
- Dividendo zero: 0 : 11 = 0. Non hai niente da distribuire, quindi a ciascuno tocca zero.
- Divisore zero: 4 : 0 è impossibile. Non esiste nessun numero che moltiplicato per 0 dia 4.
- Zero diviso zero: 0 : 0 è indeterminato. Qui il problema è opposto: qualunque numero moltiplicato per 0 dà 0, quindi le risposte sarebbero infinite.
- Divisore uno: 19 : 1 = 19. L’1 è l’elemento neutro anche qui.
I due casi con lo zero al divisore si distinguono così: impossibile significa nessuna risposta, indeterminato significa infinite risposte. Sono l’opposto l’uno dell’altro, e in verifica vengono chiesti proprio insieme.
Dividere per 10, 100, 1000
Come per la moltiplicazione, con le potenze di 10 basta spostare la virgola, solo che stavolta va verso sinistra.
1300 : 10 = 130 1300 : 100 = 13 1300 : 1000 = 1,3
13,54 : 10 = 1,354 86,91 : 1000 = 0,08691
Se le cifre non bastano si aggiungono zeri davanti, come nell’ultimo esempio. E se ti chiedi in che verso spostare la virgola, ragiona sul risultato: dividendo il numero deve rimpicciolire, quindi la virgola va a sinistra.
Le due proprietà della divisione
Proprietà invariantiva. Il quoziente non cambia se dividendo e divisore vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero diverso da zero.
32 : 4 = (32 · 2) : (4 · 2) = 64 : 8 = 8
32 : 4 = (32 : 2) : (4 : 2) = 16 : 2 = 8
È la stessa idea della proprietà invariantiva delle frazioni, e non è un caso: una frazione è una divisione. Semplificare 32/4 fino a 8/1 e semplificare la divisione 32 : 4 sono lo stesso gesto.
Come si usa a mente: dimezza entrambi i termini finché il divisore non diventa comodo. 96 : 8 → 48 : 4 → 24 : 2 = 12.
Proprietà distributiva. Per dividere una somma si può dividere ciascun termine e poi sommare i quozienti.
(60 + 12) : 6 = (60 : 6) + (12 : 6) = 10 + 2 = 12
Attenzione a una differenza importante rispetto alla moltiplicazione: qui la proprietà vale solo per il dividendo. Puoi spezzare il numero da dividere, non il divisore. Scrivere 72 : (6 + 2) come 72 : 6 + 72 : 2 è sbagliato, e si vede subito facendo i conti: 72 : 8 = 9, mentre 12 + 36 = 48.
Se ti blocchi: chiediti quante volte ci sta
Quando una divisione non ti viene, non cercare la tabellina: fai la domanda al contrario, cioè passa alla moltiplicazione.
Per 91 : 7, non chiederti “quanto fa 91 diviso 7”: chiediti “per quanto devo moltiplicare 7 per arrivare a 91?”. Provi 7 · 10 = 70, ti mancano 21, e 21 sono 7 · 3. Quindi 13.
Funziona perché la divisione è l’inversa della moltiplicazione, e la moltiplicazione la conosci meglio.
E se il divisore è grande, prima dimezza tutto con la proprietà invariantiva: numeri più piccoli, stessa risposta.
✎ Esercizio svolto
Calcola a mente 96 : 8 usando la proprietà invariantiva.
- Guarda il divisore L'8 si può dimezzare comodamente, e dividere per 4 è più facile che dividere per 8.
- Dividi entrambi i termini per 2 96 : 2 = 48 e 8 : 2 = 4. Il quoziente non cambia, perché ho diviso dividendo e divisore per lo stesso numero.
- Riscrivi la divisione 96 : 8 diventa 48 : 4.
- Concludi 48 : 4 = 12, e volendo si poteva dimezzare ancora: 24 : 2 = 12.
Soluzione: 96 : 8 = 12.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
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Domande frequenti
Come si chiamano i termini della divisione?
Il numero da dividere è il dividendo, quello per cui si divide è il divisore e il risultato è il quoziente. Quello che avanza si chiama resto.
Si può dividere un numero per zero?
No, è impossibile: nessun numero moltiplicato per zero può dare un risultato diverso da zero. Il caso 0 : 0 si dice invece indeterminato.
Quando una divisione si dice esatta?
Quando il resto è zero. Per esempio 12 : 4 = 3 è esatta, mentre 13 : 5 = 2 con resto 3 non lo è.
Che cos'è la proprietà invariantiva della divisione?
Il quoziente non cambia se dividendo e divisore vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero diverso da zero.
Perché la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione?
Perché il quoziente moltiplicato per il divisore restituisce il dividendo: da 12 : 4 = 3 si torna a 3 · 4 = 12.
Come si divide per 10, 100 o 1000?
Si sposta la virgola verso sinistra di uno, due o tre posti, aggiungendo zeri se le cifre non bastano: 1300 : 100 = 13.
La divisione gode della proprietà commutativa?
No. 12 : 4 = 3, mentre 4 : 12 è tutta un'altra cosa. Come nella sottrazione, l'ordine dei termini conta.