Le Espressioni: Ordine delle Operazioni e delle Parentesi

Un’espressione non si legge da sinistra a destra

Prova a calcolare questa, di getto:

2 + 3 · 4

Se ti è venuto 20, hai fatto la cosa più naturale del mondo: hai letto da sinistra a destra, come si legge una frase. 2 + 3 fa 5, per 4 fa 20.

Il risultato giusto però è 14, perché la moltiplicazione va eseguita per prima: 3 · 4 = 12, e poi 2 + 12.

Non è un capriccio dei matematici. È una convenzione, cioè un accordo: senza una regola condivisa la stessa scrittura darebbe risultati diversi a seconda di chi la legge, e non ci si capirebbe più. L’ordine delle operazioni è la grammatica che rende un’espressione leggibile allo stesso modo da chiunque, in tutto il mondo.

Da qui viene tutto il resto della pagina, comprese le parentesi: servono a dire “qui l’ordine normale non va bene, fai prima questo”.

L’ordine delle operazioni

Le operazioni si eseguono in tre livelli, dal più forte al più debole.

1. le potenze;
2. le moltiplicazioni e le divisioni;
3. le addizioni e le sottrazioni.

Attenzione a un punto che confonde molti: moltiplicazione e divisione non hanno una davanti all’altra. Sono allo stesso livello, quindi fra loro si procede da sinistra a destra, nell’ordine in cui compaiono. Lo stesso vale per addizione e sottrazione.

12 : 3 · 2 = 4 · 2 = 8, e non 12 : 6 = 2

Questa è la trappola più comune di tutta la prima media, e nasce proprio dal credere che la moltiplicazione venga sempre prima della divisione.

Le parentesi: il permesso di saltare la fila

Le parentesi servono a una cosa sola: far eseguire prima un’operazione che altrimenti verrebbe dopo.

2 + 3 · 4 = 14, ma (2 + 3) · 4 = 20

Stessi numeri, stesse operazioni, risultati diversi. Le parentesi sono l’unico strumento che hai per cambiare l’ordine.

Quando ce n’è più di un tipo, si sciolgono dalla più interna alla più esterna:

1. parentesi tonde ( )
2. parentesi quadre [ ]
3. parentesi graffe { }

E dentro ogni parentesi si ricomincia da capo con l’ordine normale: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni.

Un esempio svolto passo passo

[ 2 · (3 + 4 · 5) ] − 20

Dentro la tonda, la moltiplicazione ha la precedenza sull’addizione:

[ 2 · (3 + 20) ] − 20

Ancora dentro la tonda, ora resta solo l’addizione, e la tonda si chiude:

[ 2 · 23 ] − 20

Dentro la quadra, la moltiplicazione:

46 − 20

Fuori da tutto, l’ultima sottrazione:

26

Nota il ritmo: a ogni passaggio si risolve una sola operazione e si riscrive tutta l’espressione. È più lungo da scrivere, ma è il modo in cui non si perdono pezzi per strada.

Le tre regole per non sbagliare la trascrizione

Molti errori nelle espressioni non sono errori di calcolo: sono errori di copiatura fra una riga e l’altra.

Riscrivi tutto a ogni passaggio. Anche i pezzi che non hai toccato. Saltarli è il modo più veloce per perdere un numero.

Cambia una cosa sola per volta. Se in una riga hai risolto due operazioni, in caso di errore non saprai quale delle due era sbagliata.

Chiudi le parentesi appena il contenuto diventa un numero solo. Tenere una parentesi attorno a un numero singolo non serve e confonde.

Se ti blocchi: cerca la parentesi più interna, poi il livello più alto

Davanti a un’espressione lunga la domanda giusta non è “da dove comincio a leggere”, ma “qual è l’unica operazione che posso fare adesso”.

Ci sono parentesi? Vai alla più interna e guarda solo dentro quella. Il resto per ora non esiste.

Dentro, c’è una potenza? Risolvila.

Ci sono moltiplicazioni o divisioni? La più a sinistra.

Sono rimaste solo addizioni e sottrazioni? La più a sinistra.

Ogni riga della tua soluzione risponde a questa domanda una volta sola. Fatto così, un’espressione lunga non è più difficile di una corta: è solo più lunga.