L’errore non è nel calcolo, è nella traduzione
Quando un problema viene sbagliato, quasi mai il motivo è un conto fatto male. Il motivo è che l’espressione scritta all’inizio non descriveva quel problema.
È una buona notizia, perché sposta l’attenzione dove serve. Non devi diventare più veloce a calcolare: devi diventare più preciso a tradurre.
E tradurre è esattamente quello che stai facendo: prendi una frase in italiano e la riscrivi in un’altra lingua, fatta di numeri e simboli. Come in ogni traduzione servono due cose, un dizionario e l’attenzione all’ordine delle parole. Le trovi tutte e due in questa pagina.
Le due fasi
Fase 1: traduci. Leggi il testo, individua i dati e la domanda, e scrivi un’unica espressione che contenga tutto il ragionamento.
Fase 2: svolgi. Risolvi l’espressione rispettando l’ordine delle operazioni, fino al risultato.
La regola che fa la differenza è nella fase 1: una sola espressione, nessun risultato intermedio. Molti fanno un calcolo, scrivono il numero, ne fanno un altro, e alla fine non si capisce più da dove venga la risposta. Tenere tutto in una riga costringe a pensare al ragionamento completo prima di cominciare a calcolare.
Il dizionario: dalle parole alle operazioni
| Nel testo trovi | Nell’espressione scrivi |
|---|---|
| in tutto, complessivamente, aggiungi | + |
| resta, quanto manca, differenza, togli | − |
| il doppio, il triplo, ognuno, per ciascuno | · |
| la metà, un terzo, diviso equamente, ciascuno riceve | : |
| al quadrato, al cubo, area di un quadrato | potenza |
Due voci meritano attenzione perché compaiono in tutti e due i sensi.
“Ognuno” può indicare una moltiplicazione o una divisione, a seconda di cosa sai. Se sai quanto costa un quaderno e ne compri 6, moltiplichi. Se sai quanto hai speso in tutto e vuoi il prezzo di uno, dividi.
“Un terzo di” è sempre una divisione per 3, e più avanti diventerà una moltiplicazione per la frazione 1/3. Sono la stessa cosa scritta in due modi.
Il tranello dell’ordine delle parole
L’italiano e la matematica non mettono sempre i numeri nello stesso ordine, e qui si perdono più punti che altrove.
“Togli 5 a 12” si scrive 12 − 5, non 5 − 12.
“Sottrai 4 da 20” si scrive 20 − 4.
“Dividi 30 per 6” si scrive 30 : 6, ma “quante volte 6 sta in 30” si scrive uguale.
Nell’addizione e nella moltiplicazione il problema non esiste, perché l’ordine non cambia il risultato. Nella sottrazione e nella divisione sì, ed è lì che bisogna rileggere due volte.
Il controllo veloce: chiediti qual è il numero di partenza, quello che viene diminuito o diviso. Quello va scritto per primo.
Esempio 1: la spesa in cartoleria
Vado in cartoleria con 20€ e compro 6 quaderni da 2€ l’uno. Quanto mi rimane?
Fase 1. Il dato di partenza è 20€. La spesa è 6 quaderni per 2€ ciascuno, cioè 6 · 2. Quello che rimane è la differenza fra i due.
20 − 6 · 2
Fase 2. La moltiplicazione ha la precedenza:
20 − 6 · 2 = 20 − 12 = 8
La risposta: mi rimangono 8€. Non “8”, ma “8 euro”: l’unità di misura fa parte della risposta.
Nota che qui non servono parentesi: l’ordine delle operazioni fa già fare la moltiplicazione per prima, che è proprio quello che vogliamo.
Esempio 2: quando servono le parentesi
Moltiplica per 4 la differenza tra 30 e la metà di 22.
Fase 1. “La metà di 22” è 22 : 2. La “differenza tra 30 e la metà di 22” è quindi 30 − 22 : 2, e quel risultato va moltiplicato per 4.
Attenzione però: se scrivi tutto di fila, l’ordine delle operazioni fa i calcoli in un altro ordine. Serve la parentesi.
(30 − 22 : 2) · 4
Fase 2.
(30 − 11) · 4 = 19 · 4 = 76
Guarda cosa succede togliendo la parentesi. In 30 − 22 : 2 · 4 la divisione e la moltiplicazione hanno la precedenza, quindi si calcola prima 22 : 2 = 11, poi 11 · 4 = 44, e alla fine resta 30 − 44: un numero che in prima media non esiste nemmeno.
Non è “quasi giusto”: è un’altra espressione, che descrive un altro problema. Metti la parentesi ogni volta che il testo ti chiede di calcolare qualcosa prima di usarlo.
Il segnale da cercare nel testo sono le parole che nominano un risultato intermedio: la differenza, la somma, il totale, il resto. Quando compaiono, quel pezzo va chiuso fra parentesi.
Il controllo finale che quasi nessuno fa
Prima di consegnare, rileggi la domanda del problema e confronta con il tuo numero. Due controlli bastano.
È della grandezza giusta? Se il problema parte da 20€ e la risposta è 200€, qualcosa non torna. Se chiede quanti studenti e viene 16,5, hai sbagliato operazione.
Risponde proprio a quella domanda? Capita spesso di calcolare correttamente il numero sbagliato: il problema chiedeva quelli in autobus e tu hai scritto quelli a piedi.
Se ti blocchi: parti dalla domanda, non dal primo dato
Quando un problema sembra impossibile, non ricominciare dall’inizio del testo. Parti dalla fine.
Leggi la domanda e scrivi cosa devi trovare. Poi chiediti: quali due numeri mi servirebbero per ottenerlo? Se ce li hai, hai finito. Se ne manca uno, quello diventa il nuovo problema da risolvere, e ripeti la domanda.
Procedendo così l’espressione si costruisce all’indietro, dal risultato verso i dati, e a un certo punto si aggancia ai numeri che il testo ti ha dato.
È lo stesso ragionamento che in terza media diventerà un’equazione: scrivi il valore che cerchi come se lo conoscessi già, e poi lo ricavi.
✎ Esercizio svolto
In una classe di 24 studenti un terzo va a casa a piedi e gli altri in autobus. Quanti prendono l'autobus? Scrivi e risolvi l'espressione.
- Trova il dato e la domanda Il dato è 24 studenti. La domanda chiede quanti prendono l'autobus, cioè tutti quelli che non vanno a piedi.
- Traduci il pezzo difficile "Un terzo di 24" significa dividere 24 in tre parti uguali: 24 : 3. Sono gli studenti a piedi.
- Scrivi l'espressione intera Quelli in autobus sono il totale meno quelli a piedi: 24 − 24 : 3. Tutto in una sola riga, senza risultati intermedi.
- Svolgi rispettando l'ordine La divisione va prima: 24 : 3 = 8, poi 24 − 8 = 16.
Soluzione: 24 − 24 : 3 = 16 studenti prendono l'autobus.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Come si risolve un problema con un'espressione?
In due fasi: prima si traduce il testo in un'unica espressione, poi si svolge rispettando l'ordine delle operazioni.
Come si traduce «la metà di» e «il doppio di»?
«La metà di» diventa una divisione per 2, «il doppio di» una moltiplicazione per 2. Allo stesso modo «il triplo» è per 3 e «un terzo» è diviso 3.
Perché conviene scrivere una sola espressione invece di tanti calcoli separati?
Perché tiene insieme tutto il ragionamento in una riga, rende visibile l'ordine dei passaggi e permette di correggere un errore senza rifare tutto.
Come capisco se serve una parentesi?
Serve quando un'operazione va fatta prima di un'altra che avrebbe la precedenza. Se il testo dice di sommare prima e moltiplicare dopo, la somma va fra parentesi.
Come si traduce «togli 5 a 12»?
Si scrive 12 − 5. L'ordine delle parole è invertito rispetto a quello dei numeri nell'operazione, ed è uno degli errori più frequenti.
Cosa devo scrivere nella risposta finale?
Una frase che risponde alla domanda del problema, con l'unità di misura giusta. Il numero da solo non è una risposta.
Come faccio a capire se il risultato è sensato?
Si confronta con i dati: se hai speso più di quanto avevi, o hai più pezzi di quanti erano in partenza, c'è un errore da qualche parte.