La domanda vera non è quali sono, ma se li hai trovati tutti
Capire cos’è un divisore richiede trenta secondi: è un numero che ne divide un altro senza lasciare resto. Il problema arriva subito dopo, quando l’esercizio chiede tutti i divisori di 36 e tu ne scrivi sette convinto di aver finito, mentre erano nove.
Succede perché quasi tutti li cercano a caso: provo il 2, sì; provo il 3, sì; provo il 4, sì; poi salto qualcosa e non me ne accorgo. Non c’è modo di sapere se hai finito, perché non stai seguendo nessun ordine.
C’è un metodo che elimina il problema alla radice: cercarli a coppie. Ogni divisione che riesce ti regala due divisori insieme, e la ricerca si chiude da sola quando le due metà della coppia si incontrano. Non devi ricordarti di fermarti: te lo dice il metodo.
Quando un numero è un divisore
Prendiamo due numeri e facciamo la divisione tra loro. Se il resto è zero, il secondo numero è un divisore del primo, e il primo è divisibile per il secondo.
Con il 18:
18 : 3 = 6 con resto 0
18 : 4 = 4 con resto 2
Nel primo caso il resto è zero, quindi 3 è divisore di 18. Nel secondo il resto è 2, quindi 4 non lo è. Non conta quanto viene il quoziente: conta solo che il resto sia zero.
Trovarli tutti a coppie, senza dimenticarne nessuno
Il metodo è questo: prova a dividere partendo da 1 e salendo. Ogni volta che la divisione riesce, scrivi due numeri: quello per cui hai diviso e il risultato.
Per il 12:
12 : 1 = 12 → coppia 1 e 12
12 : 2 = 6 → coppia 2 e 6
12 : 3 = 4 → coppia 3 e 4
Al passo successivo dovresti provare il 4, ma il 4 è già uscito come secondo elemento della coppia precedente: le due metà si sono incontrate, e questo significa che hai finito. I divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Il vantaggio non è la velocità, è la certezza. Cercando a caso non sai mai se ti manca qualcosa; a coppie il metodo ti dice da solo quando smettere.
Se qualche divisione non riesce, quel numero semplicemente non è un divisore e si salta: per il 12 il 5 non entra, e infatti nella lista non c’è.
Due regole che valgono sempre
Ogni numero ha almeno due divisori, 1 e se stesso, perché qualunque numero è divisibile per 1 e si divide per se stesso dando 1. Gli unici che si fermano esattamente a due sono i numeri primi.
Nessun divisore è più grande del numero. Se cercando i divisori di 20 ti esce 40, hai sbagliato: un divisore ci deve stare dentro. È il controllo più rapido che hai, e non richiede di rifare i conti.
I divisori comuni: dove due liste si sovrappongono
Quando due numeri hanno un divisore uguale, quel numero si chiama divisore comune. Per trovarli si scrivono le due liste e si guarda cosa compare in entrambe.
Con 12 e 18:
divisori di 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
divisori di 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
I divisori comuni sono 1, 2, 3 e 6. Il più grande, il 6, ha un nome tutto suo: si chiama massimo comune divisore, e serve soprattutto a semplificare le frazioni in un passaggio solo.
Nota che l’1 è divisore comune di qualunque coppia di numeri: la lista non è mai vuota, e quando l’1 è l’unico in comune i due numeri si dicono primi tra loro.
Divisori e multipli: lo stesso legame visto da due lati
Divisori e multipli sembrano due argomenti separati e invece sono la stessa cosa guardata da capi opposti.
Se 3 è divisore di 18, allora 18 è multiplo di 3. Dire “18 è divisibile per 3” e dire “18 è un multiplo di 3” è dire la stessa identica frase.
Cambia solo dove ti metti: i divisori guardano verso il basso, sono pochi e stanno dentro il numero. I multipli guardano verso l’alto, crescono e non finiscono mai. Quando un esercizio ti confonde, chiediti se ti sta chiedendo qualcosa di più piccolo o di più grande del numero di partenza: la risposta ti dice subito quale delle due liste ti serve.
Le scorciatoie: quando non serve dividere
Provare tutte le divisioni una per una funziona sempre, ma con numeri grandi è lento. Esistono regole che ti dicono se una divisione riuscirà prima di farla, guardando solo le cifre: sono i criteri di divisibilità.
Le tre più utili le puoi usare da subito mentre cerchi le coppie:
- se il numero finisce con una cifra pari, il 2 è un divisore;
- se finisce con 0 o 5, lo è il 5;
- se la somma delle cifre è multipla di 3, lo è il 3.
Su un numero come 342 questi tre controlli ti danno in due secondi tre coppie di divisori, senza fare nemmeno una divisione.
Se ti blocchi: scrivi le coppie in colonna
Quando un esercizio non torna, quasi sempre è perché stai tenendo i numeri in testa invece che sul foglio.
Scrivi due colonne. A sinistra parti da 1 e scendi: 1, 2, 3, 4… A destra, ogni volta che la divisione riesce, scrivi il risultato. Vai avanti finché la colonna di sinistra non raggiunge quella di destra.
Quando si incontrano hai finito, e sul foglio hai già tutti i divisori ordinati: quelli di sinistra dal più piccolo, quelli di destra dal più grande. È lento le prime volte, ed è esattamente per questo che funziona: toglie di mezzo l’unica cosa che qui fa sbagliare, cioè decidere a occhio quando smettere di cercare.
✎ Esercizio svolto
Trova tutti i divisori di 20 e di 30 e indica i loro divisori comuni.
- Trova i divisori di 20 a coppie Parti da 1 e sali: 1 · 20, 2 · 10, 4 · 5. Il 3 non divide 20, quindi si salta. I divisori di 20 sono 1, 2, 4, 5, 10, 20.
- Trova i divisori di 30 a coppie 1 · 30, 2 · 15, 3 · 10, 5 · 6. Il 4 non divide 30. I divisori di 30 sono 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
- Individua i divisori comuni I numeri presenti in tutte e due le liste sono 1, 2, 5 e 10.
- Controlla il risultato Ogni divisore comune deve dividere entrambi: 20 : 10 = 2 e 30 : 10 = 3, senza resto. Torna.
Soluzione: I divisori comuni di 20 e 30 sono 1, 2, 5 e 10.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
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Domande frequenti
Che cosa sono i divisori di un numero?
Sono tutti i numeri che lo dividono lasciando resto zero. Per esempio i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Come si trovano tutti i divisori di un numero?
Si cercano a coppie: si prova a dividere per 1, 2, 3 e così via, e ogni volta che la divisione riesce si ottengono due divisori insieme. Per 12: 1·12, 2·6, 3·4.
Quando mi posso fermare a cercare?
Quando i due numeri della coppia si incontrano o si superano. Per 12 ci si ferma dopo 3·4, perché il numero successivo, 4, è già comparso come secondo della coppia.
Quando un numero è divisibile per un altro?
Quando la divisione tra i due dà resto zero. Per esempio 18 è divisibile per 3 perché 18 : 3 = 6 con resto 0, ma non per 4 perché 18 : 4 dà resto 2.
I divisori di un numero possono essere più grandi del numero?
No. I divisori sono sempre minori o uguali al numero stesso: il più piccolo è 1 e il più grande è il numero stesso.
Che cosa sono i divisori comuni?
Sono i divisori che due o più numeri hanno in comune. Per esempio i divisori comuni di 12 e 18 sono 1, 2, 3 e 6, e il più grande è il massimo comune divisore.
Qual è la differenza tra divisori e multipli?
I divisori stanno dentro il numero e sono pochi; i multipli si ottengono moltiplicando, sono più grandi e infiniti. Se 3 è divisore di 18, allora 18 è multiplo di 3: è lo stesso legame visto dai due lati.