L’1 è il numero che manda in crisi la definizione
La definizione che si impara a memoria è: un numero primo è divisibile solo per 1 e per se stesso. Sembra chiara finché non arriva l’1, e allora si rompe. Perché l’1 è divisibile per 1 (che è 1) e per se stesso (che è ancora 1), quindi secondo quella frase dovrebbe essere primo. E invece non lo è.
Il problema non è l’1: è la definizione, che è scritta male. Quella giusta si basa sul contare, non sull’elencare:
Un numero è primo se ha esattamente due divisori.
Con questa, l’1 si sistema da solo: i suoi divisori sono 1 e 1, cioè lo stesso numero scritto due volte, quindi uno solo. Due è diverso da uno, e l’1 resta fuori.
Da qui in poi la regola è una e non ha eccezioni: conta i divisori. Due, primo. Più di due, composto. Uno, è l’1 e sta per conto suo.
Primo o composto: si contano i divisori
Prendi il 7 e cerca i suoi divisori: 1 e 7, e basta. Sono due, quindi 7 è primo.
Prendi il 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Sono sei, cioè più di due, quindi 12 è composto.
I numeri composti si chiamano così perché sono “composti” da altri: 12 si può scrivere come 3 · 4, mentre 7 non si può spezzare in niente. È per questo che i primi sono i mattoncini con cui si costruiscono tutti gli altri, ed è la ragione per cui esiste la scomposizione in fattori primi.
Il 2, l’unico primo pari
Molti danno per scontato che i primi siano dispari, e sbagliano sul primo della lista.
Il 2 ha esattamente due divisori, 1 e 2, quindi è primo a tutti gli effetti. Ed è l’unico pari che possa esserlo: qualunque altro numero pari è divisibile anche per 2, quindi ha almeno tre divisori (1, 2 e se stesso) e finisce automaticamente tra i composti.
Detto al contrario: da 4 in poi, tutti i pari sono composti. È il controllo più rapido che esista, e da solo elimina metà dei numeri.
Come si controlla se un numero è primo, senza provare tutto
Per sapere se 97 è primo si potrebbe provare a dividerlo per 2, 3, 4, 5… fino a 96. Sono novantaquattro divisioni, e non serve farne nemmeno dieci.
Due scorciatoie tagliano quasi tutto il lavoro.
Prova solo i numeri primi. Se il 4 dividesse il tuo numero, lo dividerebbe anche il 2, che hai già provato. Quindi basta provare 2, 3, 5, 7, 11 e così via: i composti sono già coperti.
Fermati alla radice quadrata. Se nessun primo fino alla radice quadrata divide il numero, allora non lo divide più nessuno e il numero è primo. Per il 97 la radice sta poco sotto 10, quindi bastano 2, 3, 5 e 7: quattro prove invece di novantaquattro.
Il motivo è semplice: i divisori vengono a coppie, e in ogni coppia uno dei due sta sempre sotto la radice. Se sotto la radice non c’è nessuno, sopra non ci può essere nessuno.
E le prime tre prove non richiedono nemmeno una divisione, perché bastano i criteri di divisibilità: pari, finisce per 5, somma delle cifre multipla di 3.
I primi fino a 30, e perché diventano rari
Sono dieci: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Conviene impararli, perché sono quelli che userai in quasi tutti gli esercizi di scomposizione.
Guardando la griglia si nota una cosa: all’inizio sono fitti, poi si diradano. Fino a 30 ce ne sono dieci, tra 70 e 100 solo sei, tra 970 e 1000 appena cinque.
Il motivo è che più si sale, più numeri ci sono già stati prima che potrebbero dividerli. Eppure non finiscono mai: per quanto tu salga, ne troverai sempre uno più grande. È un fatto dimostrato più di duemila anni fa, e vale ancora.
A cosa servono davvero
Nel programma di prima media i primi servono a una cosa precisa: sono i pezzi con cui si scompongono i numeri, e da lì passano il M.C.D., il m.c.m. e la semplificazione delle frazioni. Senza primi, quei tre argomenti non esisterebbero.
Fuori dalla scuola fanno qualcosa di più sorprendente: tengono al sicuro i tuoi dati. Quando paghi online, dietro c’è un numero enorme ottenuto moltiplicando due primi giganteschi. Moltiplicarli è istantaneo, ma ritrovarli partendo dal risultato è talmente difficile che nemmeno tutti i computer del mondo ci riuscirebbero in tempi umani. La sicurezza di internet si regge su questa asimmetria.
Se ti blocchi: smetti di rileggere la definizione, conta
Quando un numero ti mette in dubbio, non ripetere la frase imparata a memoria: quella è proprio ciò che ti confonde sull’1 e sul 2.
Scrivi il numero e cerca i suoi divisori a coppie, partendo da 1. Poi contali.
- Se sono due, è primo.
- Se sono più di due, è composto.
- Se è uno, hai davanti l’1, che non è né l’uno né l’altro.
Non c’è nessun caso particolare da ricordare, nessuna eccezione da mandare a memoria. Contare li risolve tutti.
✎ Esercizio svolto
Stabilisci se 91 è un numero primo.
- Calcola fin dove devi provare La radice quadrata di 91 sta poco sotto 10 (9 · 9 = 81 e 10 · 10 = 100). Basta quindi provare i primi fino a 9: 2, 3, 5 e 7.
- Prova il 2 e il 5 91 finisce per 1: non è pari e non finisce con 0 o 5, quindi non è divisibile né per 2 né per 5.
- Prova il 3 La somma delle cifre è 9 + 1 = 10, che non è multiplo di 3. Quindi il 3 non divide 91.
- Prova il 7 91 : 7 = 13 con resto 0. La divisione riesce, quindi 7 è un divisore di 91.
- Concludi 91 ha almeno quattro divisori: 1, 7, 13 e 91. Non è primo.
Soluzione: 91 non è primo: è composto, perché 91 = 7 · 13.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Che cos'è un numero primo?
È un numero che ha esattamente due divisori: 1 e se stesso. Per esempio 7 è primo perché si divide solo per 1 e per 7.
Che cos'è un numero composto?
È un numero con più di due divisori. Per esempio 12 è composto perché si divide per 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Perché l'1 non è un numero primo?
Perché ha un solo divisore, se stesso, mentre un numero primo deve averne esattamente due. L'1 non è nemmeno composto: sta fuori da entrambe le categorie.
Il 2 è un numero primo?
Sì, ed è l'unico primo pari. Ha solo due divisori, 1 e 2. Tutti gli altri numeri pari sono divisibili anche per 2, quindi hanno almeno tre divisori.
Come faccio a sapere se un numero è primo?
Si prova a dividerlo per i numeri primi in ordine crescente, fermandosi alla sua radice quadrata: se nessuno lo divide, è primo. Per 97 bastano 2, 3, 5 e 7.
Quali sono i numeri primi fino a 30?
Sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29: dieci in tutto.
I numeri primi sono infiniti?
Sì. Per quanto si salga si trova sempre un primo più grande, anche se diventano sempre più rari: fino a 30 ce ne sono dieci, tra 970 e 1000 solo cinque.