L’esponente vale per tutti e due i piani
Quando l’esponente compare fuori da una parentesi che contiene una frazione, la domanda è una sola: a chi si applica?
La risposta è: a tutti e due, numeratore e denominatore.
(3/4)² = 3²/4² = 9/16
Non è una regola da imparare a memoria, ed è facile vedere perché. (3/4)² significa 3/4 moltiplicato per se stesso, e nella moltiplicazione fra frazioni si moltiplicano sopra con sopra e sotto con sotto:
3/4 · 3/4 = (3 · 3)/(4 · 4) = 9/16
Il 3 finisce elevato al quadrato e il 4 pure. L’esponente fuori dalla parentesi non fa altro che riassumere questo conto.
L’errore da evitare è dimenticare le parentesi: , ma se scrivi senza parentesi, l’esponente vale solo per il 3 e il risultato è . Le parentesi servono proprio a dire: l’esponente vale per tutta la frazione.
Come si calcola, passo per passo
Nella scrittura (3/4)² la frazione 3/4 è la base, il 2 è l’esponente e 9/16 è il risultato.
Il procedimento è sempre lo stesso:
- riscrivi l’esponente su numeratore e denominatore: (3/4)² diventa 3²/4²;
- calcola le due potenze separatamente: 3² = 9 e 4² = 16;
- semplifica il risultato, se possibile.
Vale la pena notare una cosa: 9/16 è più piccolo di 3/4. Elevando al quadrato una frazione propria il valore cala, perché stai moltiplicando per un numero minore di 1. Con una frazione impropria succede il contrario.
I casi particolari
Le regole sono le stesse delle potenze con i numeri interi, applicate sopra e sotto.
- Esponente 0: ogni frazione non nulla dà 1. Per esempio (7/3)⁰ = 1.
- Esponente 1: la frazione resta uguale a se stessa. Per esempio (7/3)¹ = 7/3.
- Base con numeratore 0: il risultato è 0, perché lo zero elevato a un esponente positivo resta zero.
Il caso dell’esponente 0 è quello che sorprende: anche una frazione grande come 100/3 elevata a 0 dà 1. La base non conta, esattamente come con i numeri interi.
L’esponente negativo: prima capovolgi, poi eleva
Una frazione non nulla elevata a un esponente negativo è uguale alla sua frazione inversa elevata all’esponente positivo.
(3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9
Il segno meno non rende negativo il risultato: 16/9 è un numero positivo. Il meno è un’istruzione, e l’istruzione è “capovolgi la frazione”.
L’ordine delle due mosse conta poco, ma conviene sempre lo stesso: prima capovolgi, poi eleva. Se elevi prima ti ritrovi a capovolgere numeri più grandi, e si sbaglia più facilmente.
Un modo per ricordarlo: l’esponente negativo fa lo stesso lavoro che fa la divisione fra frazioni, dove pure si capovolge il secondo termine. Il reciproco è sempre la risposta quando qualcosa va “al contrario”.
Se ti blocchi: sciogli la parentesi in una moltiplicazione
Quando non ricordi se l’esponente vale anche sotto, o cosa fare con il meno, torna alla definizione: una potenza è una moltiplicazione ripetuta.
(2/3)³ diventa 2/3 · 2/3 · 2/3. Adesso è una moltiplicazione fra frazioni che sai fare: 8 sopra e 27 sotto.
(3/4)⁻² lo scrivi prima come (4/3)², poi come 4/3 · 4/3: 16 sopra e 9 sotto.
Scriverlo per esteso costa dieci secondi e ti dà la regola invece di farla ricordare. Con esponenti grandi non serve svolgere tutta la moltiplicazione: basta immaginarla per capire che sopra e sotto ricevono lo stesso trattamento.
✎ Esercizio svolto
Calcola (2/5)³.
- Applica l'esponente a tutti e due i piani (2/5)³ significa 2³/5³: l'esponente 3 va applicato sia al numeratore sia al denominatore.
- Calcola il numeratore 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
- Calcola il denominatore 5³ = 5 · 5 · 5 = 125.
- Scrivi il risultato La frazione risultante è 8/125. È più piccola di 2/5, come dev'essere: elevando a potenza una frazione propria il valore cala.
Soluzione: (2/5)³ = 8/125.
▶ Lo vedi nel gioco
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Domande frequenti
Come si eleva a potenza una frazione?
Si elevano alla stessa potenza sia il numeratore sia il denominatore: (3/4)² = 3²/4² = 9/16.
Perché l'esponente si applica anche al denominatore?
Perché (3/4)² significa 3/4 · 3/4, e nella moltiplicazione fra frazioni si moltiplicano sia i numeratori sia i denominatori.
Quanto vale una frazione elevata a 0?
Vale 1, purché la frazione non sia nulla: (7/3)⁰ = 1, come per qualsiasi numero elevato a zero.
Quanto vale una frazione elevata a 1?
Resta uguale a se stessa: (7/3)¹ = 7/3, perché l'esponente 1 dice di prenderla una volta sola.
Come si calcola una frazione con esponente negativo?
Si capovolge la frazione e si eleva all'esponente positivo: (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9.
Una frazione con esponente negativo dà un risultato negativo?
No. Il segno meno significa "capovolgi", non "cambia segno": il risultato resta positivo.
Perché elevando al quadrato una frazione propria il valore diminuisce?
Perché stai moltiplicando la frazione per se stessa, e moltiplicare per un numero minore di 1 rimpicciolisce sempre.