Il denominatore non si somma mai
C’è un errore che compare nella prima verifica di ogni anno, e non è distrazione: è logica sbagliata applicata bene.
1/2 + 1/3 = 2/5
Sembra ragionevole: sommi sopra e sommi sotto, come faresti con qualsiasi coppia di numeri. Il problema è che 2/5 è più piccolo di 1/2. Hai aggiunto qualcosa e ti è venuto meno di quello da cui eri partito: impossibile.
Il motivo è che i due numeri della frazione non fanno lo stesso lavoro. Il numeratore conta, e i conteggi si sommano. Il denominatore dice quanto è grande una fetta, e le dimensioni non si sommano: se una fetta è mezza torta e l’altra è un terzo di torta, il risultato non è una fetta “di un quinto”.
Da qui esce tutta la regola: prima si fanno diventare le fette della stessa dimensione, e solo dopo si contano.
Stesso denominatore: si sommano solo i numeratori
Se le due frazioni hanno lo stesso denominatore, le fette sono già identiche e basta contarle.
2/5 + 1/5 = 3/5
Il denominatore resta com’è, perché non è cambiata la dimensione delle fette: hai solo preso più fette. Due quinti più un quinto fanno tre quinti, esattamente come due mele più una mela fanno tre mele.
La sottrazione funziona nello stesso modo: si sottraggono i numeratori e il denominatore non si tocca.
4/7 − 2/7 = 2/7
Denominatori diversi: prima si uniformano le fette
Quando i denominatori sono diversi, il primo passo non è sommare: è riscrivere le due frazioni con lo stesso denominatore, usando le frazioni equivalenti.
Il denominatore da scegliere è il minimo comune denominatore, cioè il minimo comune multiplo dei due denominatori.
1/2 + 1/3, con m.c.m. di 2 e 3 uguale a 6
1/2 = 3/6 e 1/3 = 2/6
3/6 + 2/6 = 5/6
E il controllo di prima adesso funziona: 5/6 è più di 1/2, come dev’essere.
Come si riscrive ogni frazione: dividi il nuovo denominatore per quello vecchio, poi moltiplica il risultato per il numeratore.
Per portare 3/4 a dodicesimi: 12 : 4 = 3, poi 3 · 3 = 9. Quindi 3/4 = 9/12.
È l’unico passaggio davvero meccanico dell’esercizio, e quasi tutti gli errori nascono dal moltiplicare il numeratore per il denominatore nuovo invece che per il quoziente.
Il procedimento completo, in quattro mosse
- Guarda i denominatori. Uguali? Salta al punto 4.
- Calcola il m.c.m. dei denominatori: è il nuovo denominatore comune.
- Riscrivi ogni frazione con quel denominatore, con la regola “dividi e moltiplica”.
- Somma o sottrai i numeratori, tenendo il denominatore.
- Semplifica il risultato, se si può.
Quest’ordine non cambia mai, nemmeno quando le frazioni sono tre o quattro: il m.c.m. si calcola su tutti i denominatori insieme e si riscrivono tutte in un colpo.
Se il risultato è una frazione impropria
Può capitare che il risultato sia una frazione impropria, cioè maggiore di 1. Non è un errore, ma spesso si preferisce scriverla come numero misto, formato da una parte intera e da una frazione propria.
Basta dividere il numeratore per il denominatore: il quoziente diventa la parte intera, il resto diventa il nuovo numeratore.
13/3 = 4 e 1/3, perché 13 : 3 fa 4 con resto 1
Il numero misto si legge meglio (“quattro pizze e un terzo” si capisce subito), ma nei calcoli conviene la frazione impropria. Se dopo devi fare altre operazioni, tieni 13/3 e converti solo alla fine.
Se ti blocchi: stima il risultato prima di calcolarlo
Prima di mettere mano al m.c.m., fai una stima veloce. Ti serve a capire se il risultato che otterrai ha senso.
Per 3/4 + 1/6: 3/4 è quasi 1, 1/6 è poco. Il risultato sarà quindi poco sotto 1. Quando ti viene 11/12, il controllo passa.
Se invece ti fosse venuto 4/10, avresti capito subito che qualcosa non torna: è circa un terzo, molto meno di 3/4 da cui sei partito.
Due domande bastano per la stima: ciascuna frazione è vicina a 0, a 1/2 o a 1? Sommando o sottraendo quelle approssimazioni ottieni l’ordine di grandezza della risposta, e nessun errore di denominatore ti sfugge più.
✎ Esercizio svolto
Calcola 3/4 + 1/6.
- Controlla i denominatori Sono 4 e 6, quindi diversi: le fette non hanno la stessa dimensione e non si possono ancora sommare.
- Trova il minimo comune denominatore È il m.c.m. di 4 e 6, cioè 12. Sarà il denominatore comune di entrambe.
- Riscrivi le due frazioni 12 : 4 = 3 e 3 · 3 = 9, quindi 3/4 = 9/12. Poi 12 : 6 = 2 e 1 · 2 = 2, quindi 1/6 = 2/12.
- Somma i numeratori Adesso i denominatori sono uguali: 9/12 + 2/12 = 11/12. Il 12 resta com'è.
Soluzione: 3/4 + 1/6 = 11/12.
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Domande frequenti
Come si sommano due frazioni con lo stesso denominatore?
Si sommano i numeratori e si lascia lo stesso denominatore: 2/5 + 1/5 = 3/5. La stessa regola vale per la sottrazione.
Perché 1/2 + 1/3 non fa 2/5?
Perché il denominatore dice la dimensione delle fette e non si somma. Inoltre 2/5 è minore di 1/2, quindi il risultato sarebbe più piccolo di uno dei due addendi.
Come si sommano frazioni con denominatori diversi?
Si portano prima allo stesso denominatore, cioè al minimo comune multiplo dei denominatori, e poi si sommano i numeratori.
Cos'è il minimo comune denominatore?
È il più piccolo denominatore comune a più frazioni e coincide con il m.c.m. dei loro denominatori.
Come si riscrive una frazione con il nuovo denominatore?
Si divide il nuovo denominatore per quello vecchio e si moltiplica il risultato per il numeratore: per portare 3/4 a dodicesimi si fa 12 : 4 = 3 e 3 · 3 = 9.
Come si trasforma una frazione impropria in numero misto?
Si divide il numeratore per il denominatore: il quoziente è la parte intera e il resto diventa il nuovo numeratore. Così 13/3 = 4 e 1/3.
Il risultato va sempre semplificato?
Sì, quando è possibile: il risultato si dà ridotto ai minimi termini, a meno che l'esercizio chieda diversamente.