Prima di fare i conti, guarda
Il metodo generale per confrontare due frazioni esiste, funziona sempre e lo vedremo. Ma applicarlo a ogni coppia è come usare la calcolatrice per fare 2 + 2: si può, e intanto perdi tempo.
In verifica capita spesso che una coppia di frazioni si risolva guardandola, senza scrivere niente. Basta riconoscere tre situazioni:
- i due denominatori sono uguali;
- i due numeratori sono uguali;
- una frazione sta sotto l’1 e l’altra sopra.
In tutti e tre i casi la risposta arriva in un secondo. Il metodo lungo serve solo per quello che resta, ed è una parte più piccola di quanto sembri.
C’è però un’idea che sta sotto tutto e che va capita prima: due frazioni si confrontano direttamente solo se le fette hanno la stessa dimensione. Il denominatore è quello che decide la dimensione della fetta, e finché è diverso non puoi confrontare niente.
Stesso denominatore: il caso facile
Se i denominatori sono uguali, le fette hanno la stessa dimensione e conta solo quante ne prendi. È maggiore la frazione con il numeratore maggiore.
3/5 è maggiore di 2/5, perché prende 3 fette invece di 2 e le fette sono identiche.
Questo è anche il motivo per cui il metodo generale funziona: tutto quello che fa è ricondursi a questo caso.
Stesso numeratore: la regola che sembra sbagliata
Se i numeratori sono uguali e i denominatori diversi, la risposta arriva subito, ma va nella direzione opposta a quella che ti aspetti: è maggiore la frazione con il denominatore più piccolo.
1/3 è maggiore di 1/8.
Il motivo è concreto: se dividi una torta fra 3 persone ognuna riceve una fetta grande, se la dividi fra 8 le fette sono piccole. Più parti fai, più piccola è ciascuna.
È la regola che si sbaglia più spesso, perché l’istinto dice “8 è più grande di 3, quindi 1/8 è più grande”. Ricordare la torta la sistema una volta per tutte.
Il caso generale: portarle allo stesso denominatore
Quando denominatori e numeratori sono tutti diversi, si costruiscono due frazioni equivalenti con lo stesso denominatore. Come denominatore comune si sceglie il minimo comune multiplo dei due.
Per confrontare 2/3 e 3/4:
il m.c.m. di 3 e 4 è 12
2/3 = 8/12 e 3/4 = 9/12
9 è maggiore di 8, quindi 3/4 è maggiore di 2/3
Il passaggio che si sbaglia più spesso è il calcolo del nuovo numeratore. Si fa così: dividi il denominatore comune per quello vecchio, poi moltiplica il risultato per il numeratore. Per 2/3 con denominatore 12: 12 : 3 = 4, poi 2 · 4 = 8.
Due scorciatoie in più
Il confronto con 1. Se una frazione è propria e l’altra impropria, hai già finito senza calcolare niente: la propria vale meno di 1, l’impropria più di 1. Per sapere quale è quale basta un’occhiata al numeratore e al denominatore, come spiegato nella classificazione delle frazioni.
Il prodotto in croce. Moltiplica il numeratore di ciascuna frazione per il denominatore dell’altra: è maggiore la frazione dalla cui parte sta il prodotto più grande.
2/3 e 3/4 → 2 · 4 = 8 e 3 · 3 = 9. Siccome 9 sta dalla parte di 3/4, allora 3/4 è maggiore.
È lo stesso calcolo del metodo generale, ma senza scrivere le frazioni equivalenti. Comodo per confrontare due frazioni al volo, meno adatto quando devi ordinarne parecchie.
Quando due frazioni sono uguali
Può capitare che il confronto finisca in parità: sono le frazioni equivalenti, scritture diverse dello stesso numero.
2/4 e 3/6 sono uguali, perché ridotte ai minimi termini valgono entrambe 1/2.
Il modo più rapido per accorgersene è semplificarle entrambe: se arrivano alla stessa frazione irriducibile, sono uguali. Con il prodotto in croce si vede anche prima, perché i due prodotti vengono identici.
Mettere in ordine più di due frazioni
Quando le frazioni sono tre o quattro, le scorciatoie non bastano più e conviene passare subito al metodo generale.
Calcola il m.c.m. di tutti i denominatori, riscrivi ogni frazione con quel denominatore e poi ordina i numeratori come faresti con numeri interi qualsiasi. Alla fine, se l’esercizio lo chiede, riporta le frazioni nella forma originale.
Il vantaggio è che con un solo denominatore comune ordini tutta la fila in un colpo, mentre il prodotto in croce ti costringerebbe a confrontarle a due a due.
Se ti blocchi: guarda i denominatori, poi i numeratori
Davanti a due frazioni, fai i controlli in questo ordine e fermati al primo che risponde.
I denominatori sono uguali? Vince il numeratore più grande.
I numeratori sono uguali? Vince il denominatore più piccolo.
Una vale meno di 1 e l’altra più di 1? Vince quella sopra l’1.
Nessuna delle tre? Allora denominatore comune, oppure prodotto in croce se ti serve solo la risposta.
Tre domande prima di prendere la penna: nella maggior parte degli esercizi almeno una risponde, e il calcolo non lo fai proprio.
✎ Esercizio svolto
Stabilisci qual è la frazione maggiore tra 2/3 e 3/4.
- Prova prima le scorciatoie I denominatori sono diversi (3 e 4), i numeratori pure (2 e 3), e sono entrambe frazioni proprie. Nessuna scorciatoia funziona: serve il metodo generale.
- Trova il denominatore comune Il minimo comune multiplo di 3 e 4 è 12: sarà il denominatore comune.
- Scrivi le frazioni equivalenti 2/3 = 8/12, perché 12 : 3 = 4 e 2 · 4 = 8. E 3/4 = 9/12, perché 12 : 4 = 3 e 3 · 3 = 9.
- Confronta i numeratori Ora le fette hanno la stessa dimensione: 9 è maggiore di 8, quindi 9/12 è maggiore di 8/12.
Soluzione: 3/4 è maggiore di 2/3, perché 9/12 supera 8/12.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
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Domande frequenti
Come si confrontano due frazioni con lo stesso denominatore?
Si guardano solo i numeratori: è maggiore quella con il numeratore più grande. Per esempio 3/5 è maggiore di 2/5.
Come si confrontano frazioni con denominatori diversi?
Si riducono allo stesso denominatore usando le frazioni equivalenti, poi si confrontano i numeratori.
Qual è più grande tra 1/3 e 1/8?
È più grande 1/3. Con lo stesso numeratore vince il denominatore più piccolo, perché dividere in meno parti dà fette più grandi.
Qual è più grande tra 2/3 e 3/4?
È più grande 3/4. Portandole a denominatore 12 si ottiene 8/12 e 9/12, quindi 3/4 supera 2/3.
Quando due frazioni sono uguali?
Quando, ridotte ai minimi termini, danno la stessa frazione. Per esempio 2/4 e 3/6 valgono entrambe 1/2.
C'è un modo veloce per confrontare due frazioni?
Sì, il prodotto in croce: si moltiplica il numeratore di ognuna per il denominatore dell'altra ed è maggiore la frazione che dà il prodotto più grande.
Come si mettono in ordine più frazioni?
Si portano tutte allo stesso denominatore, che è il minimo comune multiplo dei denominatori, e poi si ordinano i numeratori.