La radice attraversa il “per”, si ferma davanti al “più”
Le proprietà delle radici sono tre righe in un riquadro, e sembrano tre regole da imparare separatamente. In realtà rispondono a una domanda sola:
La radice può entrare dentro le parentesi?
E la risposta dipende da che operazione trova lì dentro:
- se trova una moltiplicazione o una divisione, entra ed esce liberamente;
- se trova un’addizione o una sottrazione, si ferma e non può fare niente.
Tutto qui. Se ricordi questa distinzione, hai le proprietà e in più hai l’antidoto all’errore che in verifica costa più punti di ogni altro.
Perché succede? Perché la radice eredita il comportamento del quadrato, e il quadrato si comporta esattamente così: (3 · 4)² fa come 3² · 4², ma (3 + 4)² non fa come 3² + 4². Lo hai già visto nelle proprietà delle potenze.
Radice di un prodotto
√(a · b) = √a · √b
√(4 · 25) = √4 · √25 = 2 · 5 = 10
E infatti 4 · 25 = 100, la cui radice è proprio 10.
La proprietà funziona nei due versi, ed è quello da destra a sinistra a essere più utile:
√2 · √8 = √16 = 4
Due radici antipatiche che, unite, diventano un numero intero.
Radice di un quoziente
√(a : b) = √a : √b, con b diverso da zero
√(36 : 4) = √36 : √4 = 6 : 2 = 3
Vale anche con le frazioni: la radice di una frazione è la frazione delle radici, sopra e sotto separatamente.
√(9/16) = √9 / √16 = 3/4
Radice di un quadrato
√(a²) = a
È la proprietà più ovvia e la più usata: radice e quadrato si annullano a vicenda, perché sono operazioni inverse.
√(7²) = √49 = 7
Serve continuamente con Pitagora: quando arrivi a “ipotenusa² = 25”, fai la radice di entrambi i lati e il quadrato sparisce.
Semplificare una radice: portare fuori un fattore
Ecco l’uso più frequente della proprietà del prodotto. Quando il radicando non è un quadrato perfetto, si cerca un quadrato perfetto nascosto dentro.
√72 → 72 = 36 · 2 → √72 = √36 · √2 = 6√2
Il procedimento è sempre lo stesso:
- scomponi il radicando cercando il quadrato perfetto più grande che ci sta dentro;
- spezza la radice in due;
- calcola quella del quadrato perfetto e lascia l’altra com’è.
√50 = √25 · √2 = 5√2
√48 = √16 · √3 = 4√3
Se non trovi subito il quadrato perfetto a occhio, usa la scomposizione in fattori primi e dividi ogni esponente per 2:
- fattore 3: esponente 2, e 2 : 2 = 1 → esce , niente resta sotto;
- fattore 2: esponente 3, e 3 : 2 = 1 con resto 1 → esce un e un resta sotto radice.
Fuori moltiplichi quello che è uscito, 3 · 2 = 6, e dentro resta il 2:
La regola in una riga: l’esponente diviso l’indice dice cosa esce, il resto dice cosa rimane dentro.
L’errore da non fare mai
√(9 + 16) non è √9 + √16
Facciamo i conti da tutte e due le parti:
√(9 + 16) = √25 = 5
√9 + √16 = 3 + 4 = 7
Cinque contro sette. La differenza non è piccola e non è un caso particolare: la radice non si distribuisce mai su somme e sottrazioni.
Il modo per non caderci: quando sotto la radice vedi un più o un meno, la prima cosa da fare è risolvere quello che c’è dentro, e solo dopo estrarre la radice. Con il per e il diviso, invece, puoi scegliere quale strada ti conviene.
Se ti blocchi: guarda il segno dentro la radice
Davanti a una radice complicata, la prima occhiata va all’operazione sotto il segno.
C’è un per o un diviso? Puoi spezzare la radice, oppure unire due radici in una sola. Scegli il verso che ti dà numeri più comodi.
C’è un più o un meno? Non puoi fare niente: prima calcola quello che c’è dentro, poi estrai.
C’è un numero solo? Cerca il quadrato perfetto nascosto e portalo fuori.
Tre domande, e ogni radice di seconda media rientra in uno dei tre casi.
✎ Esercizio svolto
Calcola √(4 · 25) usando la proprietà del prodotto, poi verifica se √(9 + 16) è uguale a √9 + √16.
- Spezza la radice del prodotto √(4 · 25) = √4 · √25, perché la radice attraversa la moltiplicazione.
- Calcola le due radici √4 = 2 e √25 = 5, quindi il risultato è 2 · 5 = 10.
- Controlla con la strada diretta 4 · 25 = 100 e √100 = 10. Stesso risultato: la proprietà funziona.
- Prova la stessa cosa con la somma √(9 + 16) = √25 = 5, mentre √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Sono diversi, quindi con la somma la proprietà non vale.
Soluzione: √(4 · 25) = 10; invece √(9 + 16) = 5 e non 7, quindi la radice non si distribuisce sulle somme.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Quali sono le proprietà delle radici quadrate?
La radice di un prodotto è il prodotto delle radici, la radice di un quoziente è il quoziente delle radici, e la radice di un quadrato è la base stessa.
La radice di una somma è la somma delle radici?
No, mai. √(9 + 16) vale 5, mentre √9 + √16 vale 7. È l'errore più comune di tutto il capitolo.
Come si semplifica una radice come √72?
Si cerca dentro il radicando un quadrato perfetto: 72 = 36 · 2, quindi √72 = √36 · √2 = 6√2.
Quanto vale la radice di un quadrato?
Vale la base: √(7²) = 7, perché radice e quadrato sono operazioni inverse e si annullano a vicenda.
Perché la proprietà vale per prodotto e quoziente ma non per la somma?
Perché il quadrato di una somma non è la somma dei quadrati: (3 + 4)² fa 49 e non 25. La radice eredita questo comportamento.
Cosa vuol dire portare un fattore fuori dalla radice?
Estrarre il quadrato perfetto contenuto nel radicando: da √50 si ricava √25 · √2, cioè 5√2.
Il divisore può essere zero?
No. Nella proprietà del quoziente il numero sotto deve essere diverso da zero, come in ogni divisione.