Con le radici vale la regola delle mele
Prova a rispondere: quanto fa 2√3 + 5√3?
E quanto fa √2 + √3?
Sembrano due domande dello stesso tipo, e invece la prima ha una risposta breve (7√3) mentre la seconda non ha proprio risposta: √2 + √3 resta così com’è.
Il motivo è lo stesso che conosci dalle elementari con le grandezze:
2 mele + 5 mele = 7 mele
2 mele + 5 pere = 2 mele e 5 pere
Nelle radici il radicando fa da nome dell’oggetto. Se il nome è lo stesso, le quantità davanti si sommano. Se il nome è diverso, non c’è niente da sommare e le due cose restano affiancate.
E qui sta la differenza che regge tutto il capitolo: moltiplicazione e divisione si possono fare sempre, addizione e sottrazione solo fra radici con lo stesso radicando. È la stessa asimmetria vista nelle proprietà delle radici, stavolta applicata al calcolo.
Moltiplicazione: sempre possibile
Per moltiplicare due radici si moltiplicano i radicandi e si tiene una radice sola.
√3 · √5 = √15
√2 · √18 = √36 = 6
Il secondo esempio è quello che sorprende: due radici che da sole non sono numeri “puliti” danno, moltiplicate, un intero. Succede ogni volta che il prodotto dei radicandi è un quadrato perfetto, e negli esercizi capita spesso perché sono costruiti apposta.
Se davanti alle radici ci sono dei numeri, si moltiplicano fra loro separatamente:
3√2 · 4√5 = (3 · 4)√(2 · 5) = 12√10
Una scorciatoia da tenere a mente: moltiplicare una radice per se stessa toglie il segno di radice.
Radice e quadrato sono operazioni opposte e si cancellano a vicenda.
Divisione: anche questa sempre possibile
Si dividono i radicandi.
√20 : √5 = √4 = 2
√50 : √2 = √25 = 5
Anche qui i numeri davanti si trattano a parte: 6√8 : 2√2 = 3√4 = 3 · 2 = 6.
Addizione e sottrazione: solo fra radici simili
Due radici si dicono simili quando hanno lo stesso radicando. Solo queste si possono mettere insieme, e si sommano i numeri davanti lasciando la radice com’è.
2√3 + 5√3 = 7√3
9√7 − 4√7 = 5√7
Attenzione alla radice senza numero davanti: c’è un 1 sottinteso.
e non 5√3, che è l’errore di chi non conta la prima.
Se i radicandi sono diversi, non si fa niente:
√2 + √3 = √2 + √3
Non è una risposta incompleta: è la risposta. Come “2 mele e 5 pere” è già la descrizione finale della situazione.
Un controllo per convincersene: √2 vale circa 1,41 e √3 circa 1,73, quindi la somma è circa 3,14. Se qualcuno scrivesse √5, otterrebbe 2,24: un numero diverso.
Il trucco: semplificare prima di sommare
Ecco il passaggio che salva metà degli esercizi. Due radici che sembrano diverse possono diventare simili dopo la semplificazione.
√8 + √18
I radicandi sono 8 e 18, diversi. Sembra che non si possa fare niente. Ma portando fuori i quadrati perfetti:
√8 = √4 · √2 = 2√2
√18 = √9 · √2 = 3√2
Adesso sono tutte e due radici di 2, quindi sono simili:
2√2 + 3√2 = 5√2
Regola pratica: prima semplifica tutte le radici, poi guarda quali sono simili. Se salti il primo passo, dichiari impossibili delle somme che invece si fanno benissimo.
Se ti blocchi: guarda l’operazione, poi il radicando
Due domande in ordine, e ogni esercizio si sblocca.
Che operazione è?
- Per o diviso → si fa sempre, lavori sui radicandi.
- Più o meno → serve una condizione, vai alla seconda domanda.
I radicandi sono uguali?
- Sì → somma i numeri davanti, tieni la radice.
- No → prova a semplificare le radici e ricontrolla.
- Ancora no → hai finito, la scrittura resta così.
L’errore da evitare in tutto il capitolo è sempre lo stesso: sommare i radicandi. √9 + √16 non è √25, come hai visto nelle proprietà. I radicandi si sommano solo dentro una radice sola, mai fra radici diverse.
✎ Esercizio svolto
Calcola 2√3 + 5√3 e poi √2 · √18.
- Guarda i radicandi della somma Sono tutti e due 3: le radici sono simili, quindi si possono sommare.
- Somma i numeri davanti Il radicando resta com'è e si sommano solo i coefficienti: 2 + 5 = 7, quindi 7√3.
- Passa al prodotto Nel prodotto non serve nessuna condizione: √2 · √18 = √36.
- Calcola la radice ottenuta 36 è un quadrato perfetto, quindi √36 = 6. Due radici irrazionali hanno dato un numero intero.
Soluzione: 2√3 + 5√3 = 7√3 e √2 · √18 = 6.
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Domande frequenti
Come si sommano due radici quadrate?
Solo se hanno lo stesso radicando: si sommano i numeri davanti e si tiene la radice. Così 2√3 + 5√3 = 7√3.
Quanto fa √2 + √3?
Resta √2 + √3: i radicandi sono diversi, quindi la somma non si può accorciare.
Come si moltiplicano due radici?
Si moltiplicano i radicandi sotto un'unica radice: √3 · √5 = √15. Non serve nessuna condizione.
Che cosa sono le radici simili?
Radici con lo stesso radicando, come 2√3 e 5√3. Solo queste si possono sommare o sottrarre.
Due radici diverse possono diventare simili?
Sì, semplificandole: √8 diventa 2√2 e √18 diventa 3√2, quindi si possono sommare e danno 5√2.
Il prodotto di due radici può dare un numero intero?
Sì, quando il prodotto dei radicandi è un quadrato perfetto: √2 · √18 = √36 = 6.
Come si divide una radice per un'altra?
Si dividono i radicandi: √20 : √5 = √4 = 2.