Una parte dall’area, l’altra dal volume
La radice quadrata l’hai già vista: cerca il numero che moltiplicato per se stesso dà il radicando.
La radice cubica fa la stessa cosa, ma con tre fattori uguali invece di due.
3³ = 3 · 3 · 3 = 27, quindi ∛27 = 3
La differenza fra le due si capisce meglio guardando la geometria, ed è la stessa che c’è fra il quadrato e il cubo:
Radice quadrata: conosci l’area di un quadrato, cerchi il lato.
Radice cubica: conosci il volume di un cubo, cerchi lo spigolo.
Un cubo di volume 125 cm³ ha lo spigolo di 5 cm, perché 5 · 5 · 5 = 125. Ed è esattamente il tipo di problema per cui la radice cubica esiste.
L’indice della radice
Nel simbolo compare un numeretto in più, l’indice, che dice quanti fattori uguali cercare.
∛27 si legge “radice cubica di 27”, e l’indice è 3.
Nella radice quadrata l’indice sarebbe 2, ma non si scrive: è sottinteso, perché è il caso più comune. Quando vedi una radice senza indice, è quadrata.
I cubi perfetti
Come per i quadrati, alcuni numeri hanno una radice cubica esatta: si chiamano cubi perfetti.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
Guarda come crescono: dai quadrati perfetti, che a 10 arrivano a 100, ai cubi che arrivano a 1000. È il motivo per cui i cubi perfetti sono più radi e più facili da riconoscere: fra un cubo e l’altro c’è molto spazio vuoto.
Un aiuto per la memoria: i primi quattro (1, 8, 27, 64) tornano di continuo negli esercizi, e il 1000 lo sai già perché è 10³.
La differenza che sorprende: i numeri negativi
La radice quadrata di un numero negativo non esiste, perché nessun numero al quadrato dà un risultato negativo.
Con la radice cubica il discorso cambia completamente:
(−2) · (−2) · (−2) = 4 · (−2) = −8
Tre fattori negativi danno un risultato negativo, quindi ∛−8 = −2 ed esiste senza problemi.
Il motivo è il numero di segni meno: con due si annullano a coppie, con tre ne resta sempre uno. È la stessa regola dei segni che studierai per bene con i numeri relativi.
Calcolare una radice cubica difficile
Se il numero è grande e non lo riconosci, usa la scomposizione in fattori primi e raggruppa i fattori a tre a tre.
216 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 2³ · 3³
∛216 = 2 · 3 = 6
Funziona come per la radice quadrata, dove i fattori si raggruppavano a due a due. Cambia solo la dimensione dei gruppi, perché è l’indice a decidere quanti fattori servono per uscire dalla radice.
La regola con le potenze, che è il modo formale insegnato a scuola: quando il numero è scomposto, dividi ogni esponente per 3.
6 : 3 = 2 e 3 : 3 = 1 → fuori esce
È la stessa regola della radice quadrata, dove si divideva per 2. E se qualche fattore resta spaiato, quello rimane sotto il segno.
Se ti blocchi: prova i numeri piccoli, salgono in fretta
Per trovare una radice cubica non serve nessun metodo complicato: prova i numeri interi partendo da 2, perché i cubi crescono così in fretta che ci arrivi in pochissimi tentativi.
Per ∛343: 5³ = 125 (poco), 6³ = 216 (ancora poco), 7³ = 343. Trovato al terzo tentativo.
Un aiuto in più: guarda l’ultima cifra del radicando. I cubi finiscono ciascuno con una cifra diversa, quindi l’ultima cifra ti dice già la risposta.
| Se il cubo finisce per… | …la radice finisce per | Esempio |
|---|---|---|
| 0, 1, 4, 5, 6, 9 | la stessa cifra | ∛125 = 5, ∛216 = 6 |
| 2 | 8 | ∛512 = 8 |
| 8 | 2 | ∛8 = 2 |
| 3 | 7 | ∛343 = 7 |
| 7 | 3 | ∛27 = 3 |
Funziona perché con i cubi ogni cifra finale corrisponde a una sola radice possibile, a differenza dei quadrati dove 1 e 9 finiscono entrambi per 1.
343 finisce per 3, quindi la sua radice cubica finisce per 7. E siccome 343 sta fra 216 e 512, la risposta è proprio 7.
✎ Esercizio svolto
Un cubo ha volume 125 cm³. Quanto misura il suo spigolo? E quanto vale ∛64?
- Riconosci l'operazione Il volume di un cubo è spigolo · spigolo · spigolo, cioè lo spigolo al cubo. Per tornare indietro serve la radice cubica.
- Cerca il numero che al cubo dà 125 Prova con i numeri piccoli: 4³ = 64 (troppo poco), 5³ = 125. Trovato.
- Scrivi la risposta con l'unità giusta Lo spigolo misura 5 cm. Nota che il volume era in cm³ e la lunghezza è in cm.
- Calcola la seconda radice 64 è un cubo perfetto: 4 · 4 · 4 = 64, quindi ∛64 = 4.
Soluzione: Lo spigolo misura 5 cm; inoltre ∛64 = 4.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Che cos'è la radice cubica?
È l'operazione inversa dell'elevamento al cubo: la radice cubica di 27 è il numero che moltiplicato per se stesso tre volte dà 27, cioè 3.
Qual è la differenza fra radice quadrata e cubica?
La quadrata cerca due fattori uguali, la cubica ne cerca tre. In geometria una parte dall'area e trova il lato, l'altra parte dal volume e trova lo spigolo.
Quali sono i cubi perfetti?
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 e 1000: i cubi dei numeri da 1 a 10.
Che cos'è l'indice della radice?
Il numeretto scritto sopra il segno di radice, che dice quanti fattori uguali cercare. Nella radice quadrata è 2 e non si scrive.
Esiste la radice cubica di un numero negativo?
Sì, a differenza di quella quadrata: ∛−8 = −2, perché −2 · −2 · −2 fa −8.
Come si calcola la radice cubica di un numero grande?
Si scompone in fattori primi e si raggruppano i fattori a tre a tre: 216 = 2³ · 3³, quindi ∛216 = 2 · 3 = 6.
A cosa serve la radice cubica?
Soprattutto nei problemi sui solidi: dal volume di un cubo si ricava lo spigolo, e dal volume si risale alle dimensioni.