La Radice Quadrata: Cos'è e Come si Calcola

È il quadrato, letto al contrario

Ogni operazione che impari ha la sua gemella che la disfa. L’addizione ha la sottrazione, la moltiplicazione ha la divisione. Anche l’elevamento a potenza ce l’ha, e si chiama radice.

7² = 49, quindi √49 = 7

Non c’è niente di nuovo da imparare: è la stessa relazione fra 7 e 49, guardata dall’altra parte. Quando elevi al quadrato conosci il lato e cerchi l’area; quando fai la radice conosci l’area e cerchi il lato.

Ed è proprio questa la domanda che la radice risponde:

Qual è il numero che, moltiplicato per se stesso, dà questo risultato?

Tienila in mente, perché è il modo più veloce per calcolare qualunque radice: non cercare la radice, cerca il numero che al quadrato ci arriva.

I termini

Il simbolo √ si chiama segno di radice. Il numero che ci sta sotto è il radicando, il risultato è la radice.

In √49 = 7, il radicando è 49 e la radice è 7.

I quadrati perfetti

Alcuni numeri hanno una radice esatta, perché nascono dal quadrato di un numero intero: si chiamano quadrati perfetti.

Questa tabella va saputa a memoria come le tabelline, e conviene arrivare almeno fino a 15² = 225 e sapere che 20² = 400. Non è studio in più: è quello che ti permetterà di chiudere a mente i problemi con il teorema di Pitagora, dove le radici che escono sono quasi sempre di quadrati perfetti scelti apposta.

Numeri grandi: la scomposizione in fattori primi

Con numeri come 576 o 1296 la memoria non basta e la stima non serve, perché la radice è esatta. Si usa la scomposizione in fattori primi, con una regola sola:

Il numero è un quadrato perfetto se tutti gli esponenti sono pari. Per estrarre la radice si dimezzano gli esponenti.

$576 = 2^6 \cdot 3^2 \quad \longrightarrow \quad \sqrt{576} = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = \mathbf{24}$

È il metodo che i professori chiedono prima di arrivare a Pitagora, e funziona con qualunque numero, per quanto grande.

Le tavole numeriche

Alle medie la stima a mente si affianca alle tavole numeriche, le pagine in fondo al libro con cinque colonne: $n$, $n^2$, $n^3$, $\sqrt{n}$, $\sqrt[3]{n}$.

Si usano in due versi, ed è utile saperli tutti e due:

• cerchi √50? Trovi 50 nella colonna $n$ e leggi nella colonna $\sqrt{n}$: 7,0711;
• cerchi √1296? Trovi 1296 nella colonna $n^2$ e risali a sinistra alla colonna $n$: 36.

Quando il numero non è un quadrato perfetto

La maggior parte dei numeri non ha una radice intera. √50, per esempio, non è un numero “pulito”: vale 7,0710678… e le cifre non finiscono mai.

In seconda media non serve calcolarla con precisione: serve incastrarla fra due interi.

7² = 49 e 8² = 64

49 < 50 < 64, quindi 7 < √50 < 8

E si può stringere ancora guardando quanto è vicino il radicando ai due estremi: 50 è a un passo da 49 e lontanissimo da 64, quindi √50 è di pochissimo sopra 7. Infatti fa 7,07.

Prova con 60: sta ancora fra 49 e 64, ma stavolta è vicino a 64, quindi √60 è poco sotto 8. Fa 7,75.

Due casi da conoscere

Lo zero e l’uno si comportano come sempre: √0 = 0 e √1 = 1, perché 0 × 0 = 0 e 1 × 1 = 1.

I numeri negativi non hanno radice quadrata. Non è una regola scomoda, è una conseguenza: qualunque numero moltiplicato per se stesso dà un risultato positivo, sia che parta positivo (3 × 3 = 9) sia che parta negativo (−3 × −3 = 9). Quindi nessun numero al quadrato può dare −9, e √−9 non esiste.

A cosa serve davvero

La radice quadrata sembra un’operazione da esercizio, e invece è la chiave che apre metà della geometria di seconda media.

Con il teorema di Pitagora arrivi sempre allo stesso punto: hai sommato i quadrati dei due cateti e ti ritrovi con il quadrato dell’ipotenusa. Ma a te serve l’ipotenusa, non il suo quadrato, e per tornare indietro c’è una sola strada.

cateti 3 e 4 → 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → ipotenusa = √25 = 5

Senza la radice, Pitagora resterebbe a metà.

Se ti blocchi: parti dai quadrati che sai

Non provare a indovinare la radice. Fai il contrario: scrivi i quadrati che conosci e guarda dove cade il tuo numero.

Per √180 scrivi la fila: 100, 121, 144, 169, 196, 225. Il 180 sta fra 169 (13²) e 196 (14²), quindi la radice sta fra 13 e 14.

Poi guarda a chi è più vicino: 180 è quasi a metà, un po’ più vicino a 169, quindi la risposta è circa 13,4.

Con questo metodo non serve nessuna calcolatrice, e nelle verifiche di seconda media la domanda è quasi sempre proprio “fra quali due interi è compresa”.