Una condizione sola, e il resto arriva da solo
Il parallelogramma ha una definizione cortissima:
Un quadrilatero con i lati opposti paralleli.
Non si dice niente sui lati uguali, niente sugli angoli, niente sulle diagonali. Eppure tutte quelle proprietà ci sono, e non sono aggiunte: sono conseguenze di quell’unica condizione.
È il motivo per cui il parallelogramma è il capostipite della famiglia dei quadrilateri, come hai visto nell’albero di quadrato e rettangolo: rettangolo, rombo e quadrato nascono tutti da lui aggiungendo una condizione alla volta.
E la macchina che produce quelle conseguenze la conosci già: sono i criteri di parallelismo. Due lati paralleli tagliati dagli altri due creano coppie di angoli alterni e coniugati, e da lì esce tutto.
Le proprietà del parallelogramma
- lati opposti paralleli (è la definizione);
- lati opposti uguali;
- angoli opposti uguali;
- angoli consecutivi supplementari, cioè con somma 180°;
- diagonali che si tagliano a metà.
L’ultima proprietà è la firma del parallelogramma: le diagonali si incontrano nel loro punto medio comune. Attenzione però, non sono uguali fra loro: quello succede solo nel rettangolo.
La proprietà degli angoli consecutivi è quella che risolve più esercizi. Conoscendo un solo angolo li conosci tutti e quattro: quello opposto è identico, gli altri due sono il supplementare.
un angolo di 65° → gli altri sono 115°, 65° e 115°
Il rombo: la stessa cosa con i lati uguali
Il rombo è un parallelogramma con i quattro lati uguali.
Eredita tutto quello di sopra e aggiunge due proprietà, che in realtà sono la stessa vista da due lati:
- le diagonali sono perpendicolari;
- le diagonali sono bisettrici degli angoli.
Perché le diagonali diventano perpendicolari? Perché con i lati tutti uguali, ogni vertice è equidistante dai due vertici opposti lungo l’altra diagonale. E l’insieme dei punti equidistanti da due punti è l’asse del segmento che li unisce: quindi ogni diagonale è l’asse dell’altra, e la incontra ad angolo retto nel punto medio.
Non è una proprietà da imparare a memoria: è l’asse di un segmento, ricomparso dentro una figura.
Da qui viene anche la formula dell’area con le diagonali: sono perpendicolari, quindi costruiscono un rettangolo di cui il rombo è la metà.
La conseguenza che serve nei compiti. Incrociandosi a metà e ad angolo retto, le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli identici. In ciascuno:
- i cateti sono le mezze diagonali, e ;
- l’ipotenusa è il lato del rombo.
Ecco perché nei problemi sul rombo compare quasi sempre il teorema di Pitagora: nove volte su dieci chiedono il lato partendo dalle diagonali, o il contrario.
Il quadrato, di nuovo
Se a un rombo aggiungi gli angoli retti, ottieni il quadrato. Se a un rettangolo aggiungi i lati uguali, ottieni ancora il quadrato.
È lo stesso punto d’arrivo per due strade diverse, ed è il motivo per cui il quadrato ha le proprietà di tutti: diagonali uguali (dal rettangolo) e perpendicolari (dal rombo).
| lati opposti // | lati tutti uguali | angoli retti | diag. uguali | diag. perpendicolari | |
|---|---|---|---|---|---|
| parallelogramma | sì | no | no | no | no |
| rettangolo | sì | no | sì | sì | no |
| rombo | sì | sì | no | no | sì |
| quadrato | sì | sì | sì | sì | sì |
Leggi la tabella per colonne e vedi l’albero: ogni riga accende una casella in più, e l’ultima le ha tutte.
Se ti blocchi: guarda le diagonali
Quando devi riconoscere un quadrilatero e i lati non ti dicono niente, guarda le diagonali: raccontano quasi tutto.
Si tagliano a metà? È almeno un parallelogramma.
Sono anche uguali? C’è un rettangolo.
Sono anche perpendicolari? C’è un rombo.
Tutte e due le cose? È un quadrato.
Non si tagliano a metà? Allora non è un parallelogramma: cerca fra trapezio e deltoide.
✎ Esercizio svolto
In un parallelogramma un angolo misura 65°. Quanto misurano gli altri tre?
- Usa gli angoli opposti Nel parallelogramma gli angoli opposti sono uguali, quindi anche quello di fronte misura 65°.
- Passa agli angoli consecutivi Due angoli consecutivi stanno fra due parallele tagliate da una trasversale: sono coniugati, quindi supplementari.
- Calcola 180 − 65 = 115°. Gli altri due angoli misurano 115° ciascuno.
- Controlla la somma 65 + 115 + 65 + 115 = 360°, come deve essere in ogni quadrilatero.
Soluzione: Gli angoli sono 65°, 115°, 65° e 115°.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Quali sono le proprietà del parallelogramma?
Lati opposti paralleli e uguali, angoli opposti uguali, angoli consecutivi supplementari e diagonali che si tagliano a metà.
Quali sono le proprietà del rombo?
Tutte quelle del parallelogramma più i quattro lati uguali, le diagonali perpendicolari e le diagonali bisettrici degli angoli.
Perché nel parallelogramma gli angoli consecutivi sono supplementari?
Perché sono angoli coniugati fra due rette parallele tagliate da una trasversale, quindi la loro somma è 180°.
Le diagonali del parallelogramma sono uguali?
No, si tagliano a metà ma hanno lunghezze diverse. Diventano uguali solo nel rettangolo.
Che differenza c'è tra rombo e quadrato?
Entrambi hanno i quattro lati uguali, ma il quadrato ha anche i quattro angoli retti.
Perché le diagonali del rombo sono perpendicolari?
Perché ogni diagonale è l'asse dell'altra: unisce due punti equidistanti dagli estremi, quindi la incontra ad angolo retto nel punto medio.
Quanti assi di simmetria ha un rombo?
Due, che coincidono con le sue diagonali. Il parallelogramma generico non ne ha nessuno.