Sono tutte lo stesso rettangolo, tagliato in modi diversi
Il capitolo delle aree sembra un elenco di formule da mandare a memoria: una per il parallelogramma, una per il triangolo, una per il rombo. Sei formule diverse, tutte con lettere che si somigliano.
Ma se le impari così le confondi entro una settimana. C’è un modo migliore, e sta in una frase:
Ogni figura si trasforma in un rettangolo tagliandola e rimettendola insieme.
Il parallelogramma diventa un rettangolo spostando un triangolo da una parte all’altra. Il triangolo è mezzo parallelogramma. Il rombo è metà del rettangolo costruito sulle sue diagonali.
L’unica formula vera è quella del rettangolo, A = b · h. Tutte le altre sono quella, più eventualmente un diviso due che compare quando la figura è la metà di qualcosa.
Se ti dimentichi una formula, non provare a ricordarla: rifai il taglio con un disegno, e la ritrovi.
Il parallelogramma: taglia e sposta
A = b · h
Prendi un parallelogramma e taglialo lungo l’altezza, da un vertice in giù. Ti resta un triangolo da una parte. Spostalo dall’altra parte, e quello che ottieni è un rettangolo perfetto, con la stessa base e la stessa altezza.
Non hai aggiunto né tolto niente, quindi l’area è la stessa. Ecco perché il parallelogramma usa la formula del rettangolo, senza diviso due.
Attenzione all’altezza. Non è il lato obliquo: è la distanza perpendicolare fra la base e il lato opposto. È l’errore più frequente della pagina, e il disegno lo smaschera subito, perché l’altezza si disegna con il quadratino dell’angolo retto.
Il triangolo: è mezzo parallelogramma
A = (b · h) : 2
Prendi due triangoli identici e gira il secondo di mezzo giro: incastrandoli ottieni un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza.
Due triangoli fanno un parallelogramma, quindi un triangolo è la metà: da lì il : 2.
Il diviso due non è un dettaglio da ricordare, è la conseguenza di questo incastro. E vale per qualunque triangolo: acutangolo, rettangolo, ottusangolo. Nei rettangoli è ancora più evidente, perché due triangoli rettangoli uguali formano direttamente un rettangolo.
Nei triangoli ottusangoli l’altezza cade fuori dalla figura, sul prolungamento della base, come hai visto con l’ortocentro. La formula però non cambia.
Le formule inverse: raddoppia prima di dividere. Se il problema ti dà l’area e cerca una misura, ricordati che c’è un diviso due da annullare:
e
Se dimentichi il 2 trovi le misure del parallelogramma, non del triangolo: è l’errore più frequente nei problemi inversi.
Rombo e deltoide: il rettangolo sulle diagonali
A = (d · D) : 2
Qui il taglio è diverso, e vale la pena vederlo perché spiega una formula che sembra arrivare dal nulla.
Disegna un rombo e poi costruisci il rettangolo che lo contiene, quello che ha per lati le due diagonali. Il rombo occupa esattamente metà di quel rettangolo: le quattro punte che avanzano sono uguali alle quattro parti del rombo.
Quindi l’area è (diagonale × diagonale) : 2.
La stessa cosa vale per il deltoide, perché anche lì le diagonali sono perpendicolari. Sono due figure diverse con la stessa formula, e il motivo è che condividono proprio quella proprietà.
Nota che il rombo è anche un parallelogramma, quindi la sua area si può calcolare in due modi: con le diagonali o con base per altezza. Scegli quello per cui hai i dati.
Il riepilogo, con il perché
| Figura | Formula | Da dove viene |
|---|---|---|
| rettangolo | b · h | conta i quadretti |
| parallelogramma | b · h | è un rettangolo, tagliato e spostato |
| triangolo | (b · h) : 2 | è mezzo parallelogramma |
| rombo | (d · D) : 2 | è metà del rettangolo sulle diagonali |
| deltoide | (d · D) : 2 | come il rombo, diagonali perpendicolari |
Guarda la colonna di destra: nessuna formula è nuova. Sono quattro modi di tornare al rettangolo.
Se ti blocchi: cerca l’altezza giusta, non un lato
Quasi tutti gli errori di questa pagina non sono errori di formula: sono altezze sbagliate.
Prima di calcolare, chiediti: questo segmento forma un angolo retto con la base? Se non c’è il quadratino nel disegno, quello è un lato, non un’altezza.
E se ti danno il lato obliquo invece dell’altezza, spesso il problema vuole che tu ricavi l’altezza con il teorema di Pitagora: il lato obliquo è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha l’altezza come cateto.
Ultimo controllo, sempre valido: se conosci base e altezza, il triangolo deve venire la metà del rettangolo che le contiene. Se ti viene di più, hai dimenticato il diviso due.
✎ Esercizio svolto
Un triangolo ha base 12 cm e altezza 7 cm. Calcola l'area. Poi trova l'altezza di un parallelogramma di area 84 cm² e base 12 cm.
- Applica la formula del triangolo A = b · h : 2 = 12 · 7 : 2 = 84 : 2 = 42 cm².
- Passa al parallelogramma Qui la formula è A = b · h, senza il diviso due, perché il parallelogramma è un rettangolo travestito.
- Gira la formula Se A = b · h, allora h = A : b = 84 : 12 = 7 cm.
- Nota il legame Il triangolo di prima e questo parallelogramma hanno la stessa base e la stessa altezza, e infatti l'area del triangolo è esattamente la metà.
Soluzione: Il triangolo ha area 42 cm²; il parallelogramma ha altezza 7 cm.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Come si calcola l'area del triangolo?
Si moltiplica la base per l'altezza e si divide per due: un triangolo con base 12 cm e altezza 7 cm ha area 42 cm².
Perché nell'area del triangolo si divide per due?
Perché due triangoli uguali, uno girato, formano un parallelogramma: il triangolo è metà di quel parallelogramma.
Come si calcola l'area del parallelogramma?
Base per altezza, come nel rettangolo: tagliando un triangolo da un lato e spostandolo dall'altro si ottiene proprio un rettangolo.
Qual è l'altezza di un parallelogramma?
La distanza perpendicolare fra la base e il lato opposto, non la lunghezza del lato obliquo.
Come si calcola l'area del rombo?
Si moltiplicano le due diagonali e si divide per due, perché il rombo è metà del rettangolo costruito sulle diagonali.
La formula del rombo vale anche per il deltoide?
Sì: anche nel deltoide le diagonali sono perpendicolari, quindi l'area è il semiprodotto delle diagonali.
Un triangolo può avere l'altezza fuori dalla figura?
Sì, nei triangoli ottusangoli: l'altezza cade sul prolungamento della base, ma la formula resta la stessa.