Punti Notevoli del Triangolo: Ortocentro, Baricentro, Incentro e Circocentro

Quattro segmenti che si somigliano e non sono la stessa cosa

Altezza, mediana, bisettrice, asse. Quattro parole per quattro segmenti che, disegnati dentro un triangolo, si somigliano parecchio: partono tutti da qualche parte e arrivano da qualche altra. È per questo che si confondono.

La cosa che li distingue non è come sono fatti, ma cosa vanno a cercare:

• l’altezza cerca la perpendicolare al lato opposto;
• la mediana cerca il punto medio del lato opposto;
• la bisettrice cerca la metà di un angolo;
• l’asse cerca il punto medio di un lato, ma arrivandoci perpendicolare.

Nota che due cercano un punto medio e due cercano una perpendicolare, ma solo l’asse cerca tutte e due le cose insieme. Se tieni a mente cosa cerca ciascuno, i quattro punti che ne nascono vengono da soli.

Le altezze e l’ortocentro

L’altezza è il segmento che parte da un vertice e arriva perpendicolare al lato opposto. Il punto in cui atterra si chiama piede dell’altezza.

Ogni triangolo ne ha tre, una per lato, e le tre si incontrano sempre in un unico punto: l’ortocentro.

L’ortocentro è quello che si muove di più, e dove finisce dipende dalla forma del triangolo:

• nell’acutangolo è dentro;
• nel rettangolo coincide esattamente con il vertice dell’angolo retto;
• nell’ottusangolo finisce fuori dal triangolo, e per trovarlo bisogna prolungare le altezze.

Quell’ultimo caso sorprende sempre, e non è un errore di disegno: in un ottusangolo due altezze cadono fuori dai lati, quindi il loro incontro non può che stare fuori.

Le mediane e il baricentro

La mediana unisce un vertice al punto medio del lato opposto. Anche queste sono tre, e si incontrano nel baricentro, che è sempre interno al triangolo.

Il baricentro ha una proprietà che negli esercizi torna in continuazione: divide ogni mediana in due parti in rapporto 2 a 1, con la parte più lunga dalla parte del vertice. Su una mediana da 18 cm i due pezzi misurano 12 cm e 6 cm.

Si chiama così perché è davvero il centro di gravità: se ritagli un triangolo di cartone e lo appoggi su una punta esattamente lì, sta in equilibrio. È l’unico dei quattro punti che si può verificare senza strumenti.

Nel triangolo rettangolo, poi, la mediana che parte dall’angolo retto misura esattamente metà ipotenusa.

Le bisettrici e l’incentro

La bisettrice è la semiretta che divide a metà un angolo interno. Le tre bisettrici si incontrano nell’incentro, anch’esso sempre interno.

L’incentro è equidistante dai tre lati, e questo lo rende il centro della circonferenza inscritta, quella che tocca tutti e tre i lati restando dentro al triangolo.

È l’unico dei quattro che nasce dagli angoli invece che dai lati, ed è anche il motivo per cui non esce mai: le bisettrici puntano tutte verso l’interno.

Gli assi e il circocentro

L’asse di un lato è la retta perpendicolare a quel lato nel suo punto medio. I tre assi si incontrano nel circocentro.

Il circocentro è equidistante dai tre vertici, quindi è il centro della circonferenza circoscritta, quella che passa esattamente per i tre vertici.

Come l’ortocentro, può uscire dal triangolo: nell’ottusangolo cade fuori, e nel rettangolo finisce esattamente sul punto medio dell’ipotenusa. Quest’ultimo fatto ha una conseguenza carina: in ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è il diametro della circonferenza circoscritta.

La tabella per non confonderli più

Guardando la colonna “parte da” si nota una cosa utile: tre su quattro partono da un vertice, solo l’asse no. Se un esercizio ti mostra un segmento che non tocca nessun vertice, è un asse e basta.

E i due che possono uscire dal triangolo sono proprio i due che hanno a che fare con le perpendicolari.

Quando due di questi segmenti coincidono

Nei triangoli particolari alcuni di questi segmenti si sovrappongono, e sapere quando fa risparmiare mezzo esercizio.

Nel triangolo isoscele, il segmento che parte dal vertice fra i due lati uguali è contemporaneamente altezza, mediana, bisettrice e asse della base. Uno solo fa il lavoro di quattro.

Nel triangolo equilatero succede su tutti e tre i vertici, e la conseguenza è che i quattro punti notevoli collassano in un unico punto al centro della figura. Ortocentro, baricentro, incentro e circocentro sono lo stesso punto.

Vale anche il contrario, ed è un controllo utile: se in un triangolo altezza e mediana da un vertice coincidono, quel triangolo è isoscele.

Se ti blocchi: chiediti cosa cerca il segmento

Quando non ricordi quale sia quale, non ripescare i nomi: guarda il disegno e chiediti dove arriva il segmento.

Arriva ad angolo retto sul lato? È un’altezza, o un asse. A quel punto guarda da dove parte: da un vertice è altezza, dal punto medio è asse.

Arriva nel punto medio senza essere perpendicolare? È una mediana.

Non arriva su un lato ma taglia un angolo? È una bisettrice.

Tre domande, quattro risposte, nessun nome da mandare a memoria. E per i punti notevoli vale la stessa scorciatoia: il nome del punto viene sempre dalla terna che lo genera.