I Segmenti: Definizione, Confronto e Operazioni

Il primo pezzo di geometria che si può misurare

Punto, retta e piano sono affascinanti e del tutto impraticabili: il punto non ha dimensioni, la retta e il piano sono infiniti. Non c’è niente da misurare.

Poi arriva il segmento, e cambia tutto.

Fissa due punti su una retta: la parte compresa fra loro è finita, quindi ha una lunghezza.

È il primo oggetto della geometria a cui si può attaccare un numero, ed è per questo che quasi tutto quello che studierai dopo passa da qui. Il perimetro di un poligono è una somma di segmenti. La distanza fra due punti è un segmento. L’altezza di un triangolo, il raggio di un cerchio, i lati di un quadrato: tutti segmenti.

Tienilo a mente e capirai perché a questa pagina, che sembra la più noiosa del capitolo, il libro dedica tanto spazio.

Che cos’è un segmento

Il segmento è la parte di retta compresa fra due suoi punti, detti estremi. Si indica con le lettere degli estremi: AB.

Due punti distinti su una retta la dividono infatti in tre parti: due semirette infinite e un segmento finito in mezzo. Il segmento è quella parte in mezzo.

Ogni segmento ha anche un punto medio, cioè il punto che lo divide in due parti congruenti, e ne ha uno solo.

Segmenti consecutivi e adiacenti

Quando due segmenti condividono un estremo prendono un nome:

• consecutivi: hanno un estremo in comune;
• adiacenti: sono consecutivi e in più appartengono alla stessa retta.

Come per gli angoli consecutivi e adiacenti, non sono due categorie separate: gli adiacenti sono un caso particolare dei consecutivi, con una condizione in più. Tutti gli adiacenti sono consecutivi, non tutti i consecutivi sono adiacenti.

Non è una coincidenza che le due parole tornino identiche nei due capitoli: la geometria riusa gli stessi schemi, e riconoscerli fa risparmiare metà dello studio.

La spezzata

Una linea formata da più segmenti consecutivi a due a due si chiama spezzata, o poligonale. I segmenti sono i lati e i loro estremi sono i vertici.

Una spezzata è:

• chiusa se il primo vertice coincide con l’ultimo, altrimenti aperta;
• intrecciata se due lati non consecutivi si incontrano, altrimenti semplice.

La combinazione che conta più di tutte è chiusa e semplice: è quella che delimita un poligono. Tutte le figure piane che studierai nascono da qui.

La distanza fra due punti

La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che li unisce, cioè il percorso più breve per andare dall’uno all’altro.

Sembra ovvio, ed è una proprietà che vale la pena dire a voce alta: fra due punti puoi tracciare infinite linee curve, ma il segmento è sempre il più corto. È il motivo per cui in geometria la distanza si misura sempre in linea retta, anche quando si tratta della distanza di un punto da una retta.

Confrontare due segmenti

Confrontare significa stabilire se due segmenti sono congruenti oppure quale dei due è maggiore.

Il metodo è il trasporto: si sovrappongono facendo coincidere un estremo del primo con un estremo del secondo, lungo la stessa direzione. I casi sono tre:

• gli estremi coincidono → i segmenti sono congruenti;
• l’estremo del secondo cade dentro il primo → il primo è maggiore;
• cade fuori → il primo è minore.

È lo stesso metodo che si usa per confrontare due angoli: si trasporta uno sull’altro e si guarda cosa succede. In pratica, con un righello, basta confrontare le due misure.

Le operazioni con i segmenti

Con i segmenti si fanno somme e differenze come con i numeri, disponendoli adiacenti.

La somma. Si mettono uno di seguito all’altro sulla stessa retta: la somma è il segmento che va dal primo estremo all’ultimo.

AB + CD = AD, cioè 4 m + 5 m = 9 m

La differenza. Si sovrappone il minore al maggiore: quello che resta è il risultato.

CD − AB, cioè 5 m − 4 m = 1 m

Multipli e sottomultipli. Se un segmento è contenuto un numero esatto di volte in un altro si parla di multipli e sottomultipli, esattamente come con i multipli di un numero. Se CD = 2 · AB ed EF = 3 · AB, allora CD ed EF sono multipli di AB, e AB è un loro sottomultiplo.

Se ti blocchi: chiediti se il pezzo di retta ha due estremi

Quando un esercizio ti chiede di riconoscere una figura su una retta, conta gli estremi.

Nessun estremo, infinita da due parti? È una retta.

Un estremo solo? È una semiretta, e quell’estremo si chiama origine.

Due estremi? È un segmento, e questa è l’unica delle tre che puoi misurare.

E se i pezzi sono due attaccati, la domanda successiva è sempre la stessa: stanno sulla stessa retta? Se sì sono adiacenti, se no sono soltanto consecutivi. Sono due domande che risolvono da sole quasi tutti gli esercizi di questa pagina.