Il poligono non è la linea: è quello che c’è dentro
Se ti chiedessero di indicare un poligono su un disegno, quasi tutti seguirebbero il contorno con il dito. Ed è proprio il contrario di quello che dice la definizione.
Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa e semplice.
Il poligono è la regione, la superficie, quello che sta dentro. La spezzata chiusa è soltanto il suo confine.
Sembra una pignoleria e invece è la distinzione che regge tutta la geometria delle figure piane: il perimetro misura il contorno ed è una lunghezza (cm), l’area misura la regione ed è una superficie (cm²). Sono due numeri che rispondono a due domande diverse, e chi confonde il poligono con la sua linea li scambia in continuazione.
Due parole della definizione, poi, non sono lì per caso. Chiusa: se la spezzata resta aperta non c’è nessun dentro. Semplice: se i lati si incrociano, il dentro e il fuori non si distinguono più.
Gli elementi: lati e vertici
I segmenti che formano la spezzata sono i lati del poligono. I punti in cui due lati si incontrano sono i vertici.
In ogni poligono il numero dei lati è uguale al numero dei vertici, e anche al numero degli angoli. Un pentagono ha 5 lati, 5 vertici e 5 angoli: è il motivo per cui basta dire “poligono di 5 lati” per sapere tutto sul suo conteggio.
Il perimetro
Il perimetro è la somma delle lunghezze di tutti i lati, e si indica con la lettera p.
p = 5 cm + 8 cm + 4 cm + 3 cm = 20 cm
Siccome sommi lunghezze, il risultato è una lunghezza: si misura in cm, m, km. Se in una verifica ti viene un perimetro in cm², è il segnale che hai calcolato un’area.
Gli angoli interni ed esterni
- Un angolo interno è formato da due lati consecutivi ed è rivolto verso l’interno del poligono.
- Un angolo esterno è formato da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo.
C’è un legame fra i due che vale la pena notare subito: in ogni vertice l’angolo interno e quello esterno sono adiacenti, quindi la loro somma è 180°. Conoscendone uno, l’altro si ricava con una sottrazione.
È da questa proprietà che nasceranno le formule sulla somma degli angoli dei poligoni particolari.
Poligoni convessi e concavi
- Un poligono è convesso se rimane interamente da una stessa parte di ogni retta che contiene un suo lato.
- È concavo se almeno una di quelle rette lo taglia in due parti.
Detta più semplicemente: il convesso non ha rientranze, il concavo sì. La forma di una stella a cinque punte è concava, quella di un esagono normale è convessa.
Il test rapido, se il disegno non è chiaro: prendi due punti qualsiasi dentro il poligono e uniscili con un segmento. Se il segmento resta sempre dentro, il poligono è convesso; se esce dalla figura, hai trovato una rientranza ed è concavo.
C’è anche un modo per riconoscerlo dagli angoli: se tutti gli angoli interni sono minori di 180°, il poligono è convesso. Un angolo interno concavo, maggiore di 180°, è esattamente la rientranza.
Le diagonali
Le diagonali sono i segmenti che uniscono due vertici non consecutivi, cioè due vertici che non sono già collegati da un lato.
Il triangolo è l’unico poligono che non ha diagonali: con soli tre vertici, ogni coppia è già unita da un lato. Il quadrilatero ne ha 2, il pentagono 5, l’esagono 9: crescono in fretta.
Le diagonali non sono un dettaglio decorativo. Tracciandole da un solo vertice si divide il poligono in triangoli, ed è il trucco con cui si calcola la somma degli angoli interni di qualunque poligono.
Se ti blocchi: conta i lati, poi guarda i rientri
Davanti a un poligono da descrivere, procedi in quest’ordine.
Quanti lati ha? Il numero dei lati ti dà anche vertici e angoli, e ti dà il nome della figura: 3 triangolo, 4 quadrilatero, 5 pentagono.
Ha rientranze? Se sì è concavo, se no è convesso.
Cosa mi stanno chiedendo, il contorno o la superficie? Se è il contorno sommi i lati e rispondi in cm. Se è la superficie stai parlando di area, ed è un altro calcolo.
Quest’ultima domanda è quella che vale più punti: leggere bene la richiesta prima di calcolare evita l’errore più costoso di tutta la geometria piana.
✎ Esercizio svolto
Un poligono ha quattro lati che misurano 5 cm, 8 cm, 4 cm e 3 cm. Calcola il suo perimetro.
- Riconosci il poligono dai lati I lati sono quattro, quindi si tratta di un quadrilatero.
- Ricorda che cosa misura il perimetro Il perimetro è la lunghezza del contorno, cioè la somma delle lunghezze di tutti i lati. Non dice nulla su quanto spazio occupa la figura.
- Somma le quattro misure 5 cm + 8 cm + 4 cm + 3 cm = 20 cm.
- Controlla l'unità di misura Il risultato è in centimetri, non in centimetri quadrati: il perimetro è una lunghezza.
Soluzione: Il perimetro del poligono è 20 cm.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Che cos'è un poligono?
È la parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa e semplice. I segmenti della spezzata sono i lati e i loro punti di incontro sono i vertici.
Qual è la differenza tra poligono convesso e concavo?
Il convesso resta tutto da una stessa parte di ogni retta che contiene un lato; il concavo viene tagliato in due da almeno una di quelle rette, perché ha un rientro.
Che cosa sono le diagonali di un poligono?
I segmenti che uniscono due vertici non consecutivi, cioè non già collegati da un lato. Il triangolo non ne ha nessuna.
Come si calcola il perimetro di un poligono?
Sommando le lunghezze di tutti i lati. Un quadrilatero con lati 5, 8, 4 e 3 cm ha perimetro 20 cm.
Qual è la differenza tra perimetro e area?
Il perimetro misura il contorno ed è una lunghezza (cm); l'area misura la superficie racchiusa ed è espressa in centimetri quadrati (cm²).
Che differenza c'è tra angolo interno ed esterno?
L'interno è formato da due lati consecutivi ed è rivolto verso l'interno; l'esterno è formato da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo.
Perché la spezzata deve essere semplice?
Perché se i lati si incrociano non si distingue più un dentro da un fuori, quindi non c'è una regione ben definita da chiamare poligono.