Regolare vuol dire due cose insieme
“Poligono regolare” viene quasi sempre tradotto con “poligono con i lati tutti uguali”. È metà della definizione, e la metà mancante è quella che fa sbagliare gli esercizi.
Un poligono è regolare quando è equilatero e equiangolo insieme: lati tutti uguali e angoli tutti uguali. Servono tutte e due le condizioni, e i controesempi sono figure che conosci benissimo:
Il rombo ha quattro lati uguali e angoli diversi: equilatero, non regolare.
Il rettangolo ha quattro angoli uguali e lati diversi: equiangolo, non regolare.
Il quadrato ha tutte e due le cose: è regolare.
C’è però un’eccezione affascinante, ed è il triangolo. Lì le due condizioni non sono indipendenti: se un triangolo ha i tre lati uguali, allora ha per forza anche i tre angoli uguali (60° ciascuno). Nel triangolo equilatero implica regolare, e nei quadrilateri no. È uno dei tanti modi in cui il triangolo si comporta diversamente da tutti gli altri poligoni.
I nomi in base ai lati
I poligoni prendono il nome dal numero dei lati:
| Lati | Nome |
|---|---|
| 3 | triangolo |
| 4 | quadrilatero |
| 5 | pentagono |
| 6 | esagono |
| 7 | ettagono |
| 8 | ottagono |
Da 5 in poi i nomi vengono dal greco e la logica è sempre la stessa: penta cinque, esa sei, epta sette, octa otto. Riconoscere il prefisso vale più che imparare l’elenco a memoria.
Equilateri, equiangoli e regolari
- Equilatero: tutti i lati uguali. Esempio, il rombo.
- Equiangolo: tutti gli angoli uguali. Esempio, il rettangolo.
- Regolare: tutte e due le condizioni. Esempi, il quadrato e il triangolo equilatero.
Le prime due parole si distinguono facilmente guardando la radice: equi-latero parla di lati, equi-angolo parla di angoli. Basta leggerle invece di ricordarle.
La somma degli angoli interni
La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre un angolo piatto, cioè 180°. Da questo fatto solo si ricava tutto il resto.
Prendi un poligono qualsiasi e traccia tutte le diagonali da un solo vertice: la figura si divide in triangoli, e il loro numero è sempre il numero dei lati meno due. Un pentagono dà 3 triangoli, un esagono ne dà 4.
Siccome gli angoli di quei triangoli, tutti insieme, ricostruiscono esattamente gli angoli del poligono:
somma degli angoli interni = 180° · (n − 2), dove n è il numero dei lati
Per il pentagono: 180° · 3 = 540°. Per l’esagono: 180° · 4 = 720°.
La formula non va imparata a memoria: se te la dimentichi, ti basta disegnare il poligono, tracciare le diagonali da un vertice e contare i triangoli.
L’angolo di un poligono regolare
Se e solo se il poligono è regolare, tutti gli angoli sono uguali, quindi il singolo angolo si trova dividendo la somma per il numero dei lati:
angolo del poligono regolare = 180° · (n − 2) : n
Per l’esagono regolare: 720° : 6 = 120°.
Il “se e solo se” è la condizione da non dimenticare. In un pentagono qualsiasi la somma è comunque 540°, ma i singoli angoli possono essere tutti diversi, e dividere per 5 non ha senso.
La somma degli angoli esterni
Qui arriva il risultato più sorprendente del capitolo:
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre 360°, qualunque sia il numero dei lati.
Triangolo, pentagono, poligono di cento lati: sempre 360°. È l’unica formula del capitolo che non dipende da n.
Il modo più chiaro per convincersene è camminare lungo il perimetro: a ogni vertice giri di un angolo esterno, e quando torni al punto di partenza guardando nella direzione iniziale hai compiuto un giro completo, cioè 360°. Non importa quanti vertici hai incontrato lungo la strada.
Se vuoi ricavarla con i conti, funziona anche così: in ogni vertice interno ed esterno sono adiacenti e sommano 180°, quindi in totale valgono 180° · n. Togliendo la somma degli interni, 180° · (n − 2), restano 360°.
Se ti blocchi: parti sempre da n
Quasi tutti gli esercizi su questa pagina si risolvono con la stessa sequenza.
Conta i lati: hai n.
Serve la somma degli interni? 180° · (n − 2).
Serve un singolo angolo? Solo se il poligono è regolare: dividi per n.
Ti parlano di angoli esterni? Non calcolare niente: la somma è 360°, e il singolo angolo esterno di un poligono regolare è 360° : n.
Quest’ultima è una scorciatoia che pochi usano: per l’esagono regolare l’angolo esterno è 360° : 6 = 60°, e quindi l’interno è 180° − 60° = 120°. Stesso risultato di prima, con due conti invece di tre.
✎ Esercizio svolto
Calcola la somma degli angoli interni di un esagono. Se l'esagono è regolare, quanto misura ciascun angolo?
- Conta i lati L'esagono ha 6 lati, quindi n = 6.
- Applica la formula La somma degli angoli interni è 180° · (n − 2), cioè 180° · 4.
- Calcola la somma 180° · 4 = 720°.
- Trova il singolo angolo Solo perché l'esagono è regolare gli angoli sono tutti uguali, quindi si può dividere: 720° : 6 = 120°.
Soluzione: La somma degli angoli interni è 720°; nell'esagono regolare ogni angolo misura 120°.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Che cos'è un poligono regolare?
Un poligono contemporaneamente equilatero ed equiangolo, cioè con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali. Il quadrato e il triangolo equilatero ne sono esempi.
Qual è la differenza tra equilatero ed equiangolo?
Equilatero ha tutti i lati uguali, equiangolo tutti gli angoli uguali. Il rombo è equilatero ma non equiangolo, il rettangolo il contrario.
Il rombo è un poligono regolare?
No. Ha i quattro lati uguali ma non gli angoli, quindi è solo equilatero. Diventa regolare solo quando gli angoli sono retti, cioè quando è un quadrato.
Come si calcola la somma degli angoli interni di un poligono?
Con la formula 180° · (n − 2), dove n è il numero dei lati. Per un pentagono: 180° · 3 = 540°.
Da dove viene la formula 180° per (n − 2)?
Dal fatto che tracciando le diagonali da un solo vertice il poligono si divide in n − 2 triangoli, e ogni triangolo vale 180°.
Quanto vale la somma degli angoli esterni di un poligono?
Sempre 360°, qualunque sia il numero dei lati. È l'unica formula del capitolo che non dipende da n.
Come si trova l'angolo di un poligono regolare?
Si divide la somma degli angoli interni per il numero dei lati: 180° · (n − 2) : n. Vale solo per i poligoni regolari.