Perché 360 e non 100
Prima di imparare quanto misura un angolo retto vale la pena chiedersi una cosa che nessuno chiede: perché un giro completo vale 360 gradi? Con il sistema decimale che usiamo per tutto il resto, 100 sarebbe stato più comodo.
Il motivo è che 360 ha una qualità che 100 non ha: si divide bene. Guarda i suoi divisori: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180.
Vuol dire che mezzo giro, un terzo, un quarto, un quinto, un sesto, un ottavo, un decimo e un dodicesimo di giro danno tutti numeri interi di gradi. Con 100 non funzionerebbe: un terzo di giro darebbe 33,333…
Non è un dettaglio storico: è il motivo per cui negli esercizi di geometria i conti sugli angoli vengono quasi sempre tondi. Il sistema è stato scelto apposta.
Il grado e il goniometro
L’ampiezza di un angolo si misura in gradi: un grado è la trecentosessantesima parte di un angolo giro, e si scrive 1°.
Da qui escono gli angoli particolari che già conosci:
angolo retto = 90° (un quarto di giro)
angolo piatto = 180° (mezzo giro)
angolo giro = 360°
Lo strumento per misurarli è il goniometro. Due accortezze pratiche che evitano quasi tutti gli errori di lettura: appoggia il centro del goniometro esattamente sul vertice, e fai passare uno dei lati per lo zero. Poi leggi la scala giusta delle due, controllando che il risultato abbia senso: se l’angolo è chiaramente acuto e leggi 150°, stai usando la scala sbagliata.
Il sistema sessagesimale
I gradi non seguono il sistema decimale ma quello sessagesimale, basato sul 60.
1 grado = 60 primi (60′)
1 primo = 60 secondi (60″)
Un’ampiezza si scrive quindi, per esempio, 42° 30′ 15″. È lo stesso sistema con cui misuriamo il tempo, ed è per lo stesso motivo: anche il 60 si divide molto bene.
Attenzione a non confondere 30′ con “0,30 gradi”: 30 primi sono mezzo grado, cioè 0,5°.
Angoli acuti e ottusi
Confrontando un angolo con l’angolo retto si ottiene la classificazione più usata di tutte:
- acuto: compreso fra 0° e 90°, più piccolo di un retto;
- ottuso: compreso fra 90° e 180°, più grande di un retto ma più piccolo di un piatto.
Retto e piatto fanno da confine e non appartengono a nessuna delle due categorie: hanno già un nome loro.
È la classificazione che userai per riconoscere i triangoli acutangoli, rettangoli e ottusangoli: il nome del triangolo viene proprio dal tipo del suo angolo più grande.
Somma e differenza di angoli
Gli angoli si sommano e si sottraggono come i numeri.
La somma di due angoli è l’angolo che si ottiene accostandoli lungo un lato comune, cioè rendendoli consecutivi. La differenza è l’angolo che, sommato al secondo, restituisce il primo.
In pratica, quando gli angoli sono espressi in gradi, basta sommare o sottrarre le ampiezze. L’unica accortezza è con i primi e i secondi: lì i riporti vanno fatti a 60, non a 10.
Complementari, supplementari, esplementari
Sono tre nomi per la stessa idea: due angoli la cui somma dà uno degli angoli particolari.
Complementari: la somma è un angolo retto, 90°.
Supplementari: la somma è un angolo piatto, 180°.
Esplementari: la somma è un angolo giro, 360°.
I primi due si confondono di continuo, e c’è un modo semplice per non sbagliare più: C viene prima di S nell’alfabeto, come 90 viene prima di 180. Complementare è il totale piccolo, supplementare quello grande.
Nota che questi nomi dicono solo quanto fa la somma, non come sono disegnati gli angoli: due angoli supplementari possono stare in due punti diversi del foglio. Se in più sono attaccati e allineati, allora sono anche adiacenti.
Se ti blocchi: parti dal totale, non dagli angoli
Quasi tutti gli esercizi su questi argomenti sono la stessa domanda travestita: conosco un angolo e il totale, trovo l’altro.
Quindi la prima cosa da cercare nel testo non è l’ampiezza data, ma la parola che nasconde il totale:
- “complementare” → 90°
- “supplementare” o “adiacente” → 180°
- “esplementare” → 360°
- “opposto al vertice” → nessuna sottrazione, sono uguali
Trovato il totale, l’esercizio è una sottrazione sola. E il controllo finale è immediato: risomma i due angoli e verifica che tornino al totale di partenza.
✎ Esercizio svolto
Un angolo misura 35°. Trova il suo angolo complementare e il suo angolo supplementare.
- Riconosci i due totali Complementare significa che insieme fanno un angolo retto, 90°. Supplementare significa che insieme fanno un angolo piatto, 180°.
- Calcola il complementare È quello che manca per arrivare a 90°: 90° − 35° = 55°.
- Calcola il supplementare È quello che manca per arrivare a 180°: 180° − 35° = 145°.
- Controlla 35° + 55° = 90° e 35° + 145° = 180°. Entrambe le somme tornano.
Soluzione: Il complementare misura 55° e il supplementare misura 145°.
▶ Lo vedi nel gioco
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Domande frequenti
Come si misura l'ampiezza di un angolo?
In gradi: un grado è la trecentosessantesima parte di un angolo giro e si scrive 1°. Si misura con il goniometro.
Perché l'angolo giro vale 360 gradi?
Perché 360 è divisibile per moltissimi numeri (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12…), quindi le frazioni di giro danno gradi interi e comodi da usare.
Qual è la differenza tra angolo acuto e ottuso?
L'acuto misura meno di 90°, l'ottuso è compreso fra 90° e 180°: più grande di un retto ma più piccolo di un piatto.
Quando due angoli sono complementari?
Quando la loro somma è un angolo retto, cioè 90°. Per esempio 30° e 60°.
Qual è la differenza tra complementari e supplementari?
I complementari sommano 90°, i supplementari 180°. Un modo per ricordarlo: C viene prima di S nell'alfabeto, come 90 viene prima di 180.
Cosa sono gli angoli esplementari?
Due angoli la cui somma è un angolo giro, cioè 360°. Per esempio 110° e 250°.
Che cos'è il sistema sessagesimale?
Il sistema con cui si misurano gli angoli: ogni grado si divide in 60 primi e ogni primo in 60 secondi, come ore, minuti e secondi.