Il parallelismo non si vede: si dimostra
Due rette parallele non si incontrano mai. Bella definizione, e completamente inutilizzabile: per verificarla dovresti prolungarle all’infinito e controllare che non si tocchino mai. Sul quaderno non puoi, e a occhio due rette che divergono di un grado sembrano identiche a due rette parallele.
Serve un modo per decidere guardando una zona piccola del disegno. E quel modo esiste: si aggiunge una terza retta che le attraversa, detta trasversale, e si guardano gli angoli che si formano.
Se gli angoli sono nella giusta relazione, le rette sono parallele. Punto.
Sono i criteri di parallelismo, e la loro forza è tutta qui: trasformano una domanda sull’infinito in una misura di angoli che si fa con il goniometro in dieci secondi.
Otto angoli, ma solo due ampiezze
Quando una trasversale t taglia due rette r ed s, nei due incroci si formano otto angoli.
Sembrano tanti, e in realtà se le rette sono parallele di ampiezze diverse ce ne sono solo due: una e il suo supplementare. Nell’esercizio con 65°, tutti e otto gli angoli valgono o 65° o 115°.
Per orientarti servono due parole:
- interni: gli angoli che stanno fra le due rette;
- esterni: quelli che stanno fuori.
E poi la posizione rispetto alla trasversale: dalla stessa parte, oppure da parti opposte. Combinando queste informazioni si ottengono i nomi delle coppie.
Le coppie di angoli e i loro nomi
- Corrispondenti: occupano la stessa posizione nei due incroci (per esempio in alto a destra in tutti e due).
- Alterni interni: stanno fra le due rette, da parti opposte della trasversale.
- Alterni esterni: stanno fuori dalle due rette, da parti opposte della trasversale.
- Coniugati: stanno dalla stessa parte della trasversale (interni se fra le rette, esterni se fuori).
Il modo più rapido per non confondersi è leggere le parole invece di impararle: alterni vuol dire da parti opposte, coniugati vuol dire dalla stessa parte, interni ed esterni dicono se sei dentro o fuori dalla striscia fra le due rette.
E c’è una regola che li lega tutti: le coppie alterne e corrispondenti danno angoli uguali, le coppie coniugate danno angoli supplementari. Una sola cosa da ricordare invece di quattro.
I tre criteri
Due rette tagliate da una trasversale sono parallele se vale una di queste condizioni:
Angoli alterni interni congruenti.
Angoli corrispondenti congruenti.
Angoli coniugati supplementari, cioè con somma 180°.
Basta una sola di queste condizioni: se ne verifichi una, le altre valgono automaticamente, perché gli otto angoli sono tutti legati fra loro dagli angoli opposti al vertice e adiacenti.
Ed è per questo che i tre criteri non sono davvero tre regole diverse: sono tre modi di dire la stessa cosa, e nell’esercizio usi quello per cui il testo ti ha già dato i dati.
Vale anche al contrario
I criteri funzionano nei due versi, e le due direzioni servono a cose diverse.
Da angoli a parallele. Non sai se le rette sono parallele, misuri gli angoli e lo scopri. È quello che fai negli esercizi di dimostrazione.
Da parallele ad angoli. Sai già che le rette sono parallele (per esempio perché il testo lo dice, o perché sono i lati di un rettangolo) e ricavi tutti gli otto angoli conoscendone uno solo.
La seconda direzione è quella che userai più spesso, e non solo qui: è così che si dimostra che la somma degli angoli interni di un triangolo fa 180°, tracciando una parallela a un lato passante per il vertice opposto.
Se ti blocchi: guarda dove stanno i due angoli
Davanti a un disegno con due rette e una trasversale, fai due domande sui due angoli che ti interessano.
Sono fra le due rette o fuori? Dentro sono interni, fuori sono esterni.
Sono dalla stessa parte della trasversale o da parti opposte? Stessa parte significa coniugati, parti opposte significa alterni. Se invece uno è sopra e uno è sotto nella stessa posizione, sono corrispondenti.
Poi applica la regola unica: alterni e corrispondenti uguali, coniugati supplementari.
E se l’esercizio ti dà un solo angolo e ti dice che le rette sono parallele, non fermarti: con quell’unico dato puoi scrivere tutti e otto gli angoli, e spesso è proprio quello che serve per arrivare alla risposta.
✎ Esercizio svolto
Due rette r ed s sono tagliate da una trasversale. Una coppia di angoli alterni interni misura 65° e 65°. Le due rette sono parallele?
- Riconosci la coppia Sono alterni interni: stanno fra le due rette e da parti opposte rispetto alla trasversale.
- Scegli il criterio Il criterio degli alterni interni dice che, se sono congruenti, le due rette sono parallele.
- Verifica la condizione I due angoli misurano entrambi 65°, quindi sono congruenti e la condizione è soddisfatta.
- Ricava anche gli altri angoli Accertato il parallelismo, tutti gli otto angoli si conoscono: quattro da 65° e quattro da 115°, perché 180° − 65° = 115°.
Soluzione: Sì, r ed s sono parallele, perché hanno una coppia di angoli alterni interni congruenti.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Quali angoli devono essere uguali perché due rette siano parallele?
Bastano gli alterni interni uguali oppure i corrispondenti uguali. In alternativa i coniugati devono essere supplementari, cioè sommare 180°.
Che cosa sono gli angoli alterni interni?
Due angoli che stanno fra le due rette tagliate dalla trasversale, ma da parti opposte rispetto alla trasversale.
Che cosa sono gli angoli corrispondenti?
Due angoli che occupano la stessa posizione nei due incroci, uno sopra e uno sotto: si ottengono l'uno dall'altro facendo scorrere il disegno lungo la trasversale.
Che differenza c'è tra angoli corrispondenti e coniugati?
I corrispondenti sono uguali quando le rette sono parallele; i coniugati stanno dalla stessa parte della trasversale e in quel caso sono supplementari.
Quanti angoli si formano con due rette e una trasversale?
Otto, quattro per ogni incrocio. Se le rette sono parallele hanno solo due ampiezze diverse, e insieme fanno 180°.
Vale anche il contrario dei criteri di parallelismo?
Sì. Se sai già che le rette sono parallele, allora gli alterni interni e i corrispondenti sono uguali e i coniugati supplementari.
Basta un solo criterio per concludere che due rette sono parallele?
Sì, ne basta uno qualsiasi: se vale una delle condizioni, valgono automaticamente anche le altre.