Tre parole, una sola idea: la perpendicolare
Asse, distanza, proiezione. Nel libro sono tre paragrafi separati con tre definizioni diverse, e sembrano tre cose da imparare. In realtà sono la stessa mossa ripetuta tre volte.
La mossa è: traccia la perpendicolare. Cambia solo cosa vai a prendere quando l’hai tracciata.
| Se cerchi… | Traccia la perpendicolare… | E prendi… |
|---|---|---|
| l’asse | a un segmento, nel punto medio | tutta la retta |
| la distanza | da un punto a una retta | la lunghezza del segmento |
| la proiezione | da un punto a una retta | il punto in cui atterra |
Distanza e proiezione nascono addirittura dallo stesso disegno: una è quanto è lungo il segmento, l’altra è dove finisce. Se hai capito la perpendicolare, hai già capito tutta la pagina.
L’asse di un segmento
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio.
Servono tutte e due le condizioni: una retta perpendicolare che non passa per il punto medio non è l’asse, e una retta che passa per il punto medio ma è inclinata nemmeno.
La proprietà che lo rende importante è questa:
Ogni punto dell’asse è equidistante dai due estremi del segmento.
Se prendi un punto P qualsiasi sull’asse di AB, allora PA = PB. Vale vicino al segmento e vale lontanissimo, sempre.
Detto al contrario, ed è ancora più utile: se cerchi tutti i punti che stanno alla stessa distanza da due punti dati, quei punti formano esattamente l’asse. È il motivo per cui gli assi dei lati di un triangolo si incontrano nel circocentro, il punto equidistante dai tre vertici, come vedrai negli elementi particolari dei triangoli.
La distanza di un punto da una retta
La distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento condotto dal punto perpendicolarmente alla retta.
Perché proprio la perpendicolare? Perché dal punto alla retta si possono tracciare infiniti segmenti, tutti obliqui tranne uno, e quello perpendicolare è il più corto di tutti. Siccome la distanza è per definizione il percorso più breve, è lui a misurarla.
Lo stesso principio vale fra due punti, dove il percorso più breve è il segmento che li unisce. La geometria misura sempre in linea retta e sempre per la strada più corta.
Nella pratica lo fai già senza pensarci: per misurare quanto sei alto ti metti dritto contro il muro, non inclinato.
La proiezione di un punto
La proiezione di un punto su una retta è il punto in cui la perpendicolare condotta dal punto incontra la retta. Si chiama anche piede della perpendicolare.
L’immagine giusta è quella dell’ombra a mezzogiorno: con il sole esattamente sopra, l’ombra di un oggetto cade dritta sotto di lui. La proiezione è quella posizione.
Da notare: la proiezione di un punto è sempre un punto, e se il punto sta già sulla retta la sua proiezione è il punto stesso.
La proiezione di un segmento
La proiezione di un segmento su una retta è il segmento individuato dalle proiezioni dei suoi due estremi.
Si proiettano i due estremi e si prende il tratto di retta compreso fra i due punti ottenuti. Il procedimento è quello di prima, fatto due volte.
Attenzione a una cosa che spesso si dà per scontata: la proiezione non è lunga quanto il segmento, tranne in un caso.
- Se il segmento è parallelo alla retta, la proiezione è lunga uguale.
- Se è obliquo, la proiezione è più corta.
- Se è perpendicolare alla retta, la proiezione si riduce a un solo punto.
L’ombra è di nuovo l’immagine giusta: un bastone messo di piatto per terra fa un’ombra lunga quanto lui, un bastone in piedi non ne fa quasi nessuna.
Se ti blocchi: disegna prima la perpendicolare
In tutti gli esercizi di questa pagina il primo tratto da tracciare è sempre lo stesso, e non è quello che l’esercizio nomina.
Ti chiedono l’asse? Trova il punto medio del segmento e traccia lì la perpendicolare.
Ti chiedono la distanza? Traccia la perpendicolare dal punto alla retta e misurala.
Ti chiedono la proiezione? Traccia la stessa perpendicolare e segna dove tocca.
E se in un esercizio compare la parola “equidistante”, pensa subito all’asse: nove volte su dieci la risposta è lì.
✎ Esercizio svolto
Il segmento AB misura 10 cm. Tracci il suo asse e prendi su di esso un punto P. Come sono tra loro le distanze di P da A e di P da B?
- Trova il punto medio L'asse passa per il punto medio M, che divide AB in due parti uguali: AM = MB = 5 cm.
- Ricorda la proprietà dell'asse Ogni punto dell'asse è equidistante dai due estremi del segmento.
- Applicala al punto P Siccome P sta sull'asse, i segmenti PA e PB hanno la stessa lunghezza.
- Nota che non serve sapere dove sta P La conclusione vale per qualunque punto dell'asse, vicino o lontano da AB. È proprio questo che rende l'asse utile.
Soluzione: Le due distanze sono uguali: PA = PB, perché ogni punto dell'asse è equidistante dagli estremi.
▶ Lo vedi nel gioco
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Domande frequenti
Che cos'è l'asse di un segmento?
È la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio. Ogni suo punto è equidistante dai due estremi.
Perché la distanza di un punto da una retta si misura con la perpendicolare?
Perché fra tutti i segmenti che uniscono il punto alla retta quello perpendicolare è il più corto, e la distanza è sempre il percorso più breve.
Che cos'è la proiezione di un punto su una retta?
Il punto in cui la perpendicolare condotta dal punto incontra la retta, cioè il piede della perpendicolare. È come l'ombra del punto.
Che differenza c'è tra proiezione di un punto e di un segmento?
La proiezione di un punto è un punto; quella di un segmento è il segmento compreso fra le proiezioni dei suoi due estremi.
La proiezione di un segmento è lunga quanto il segmento?
Solo se il segmento è parallelo alla retta. Se è obliquo la proiezione è più corta, e se è perpendicolare si riduce a un punto.
A cosa serve l'asse di un segmento?
A trovare tutti i punti equidistanti da due punti dati. Nei triangoli, gli assi dei tre lati si incontrano nel circocentro.
Come si traccia l'asse di un segmento?
Si trova il punto medio e da lì si traccia la perpendicolare al segmento, per esempio con la squadra.