Due rette sullo stesso piano hanno solo due possibilità
Prendi due rette complanari, cioè disegnate sullo stesso piano. Quante cose possono fare? Molte meno di quante sembri: o si incontrano, o non si incontrano. Non c’è altro.
Da questa scelta secca nascono i due nomi di questa pagina:
- non si incontrano mai → sono parallele;
- si incontrano → sono incidenti, e fra tutti i modi di incrociarsi ce n’è uno speciale: quando formano quattro angoli retti, e allora sono perpendicolari.
Vale la pena tenere l’ordine chiaro: perpendicolari non è l’opposto di parallele, è un caso particolare di incidenti. Due rette che si incrociano a 30° sono incidenti e non sono né parallele né perpendicolari.
Da qui in poi le due definizioni si portano dietro proprietà che userai in tutta la geometria, dai poligoni alle altezze dei triangoli.
Rette perpendicolari
Due rette sono perpendicolari quando sono incidenti e formano quattro angoli retti, cioè quattro angoli da 90°. Si scrive r ⊥ s.
Nota una cosa comoda: basta che uno dei quattro angoli sia retto perché lo siano tutti e quattro. Gli angoli opposti al vertice sono congruenti, quelli adiacenti sommano 180°, e 180° − 90° fa ancora 90°. Un solo controllo basta.
La proprietà da ricordare: dato un punto P e una retta r, esiste una sola retta che passa per P ed è perpendicolare a r. Non due, non nessuna: esattamente una. È quello che rende ben definita la distanza di un punto da una retta.
Rette parallele
Due rette che non si intersecano mai si dicono parallele. Per quanto le prolunghi non si incontrano, e restano sempre alla stessa distanza. Si scrive r ∥ s.
Anche qui c’è una proprietà di unicità: data una retta r e un punto P che non le appartiene, esiste una e una sola parallela a r passante per P.
Il parallelismo poi si trasmette: se s è parallela a r e t è parallela a r, allora s è parallela a t. E per convenzione ogni retta è parallela a se stessa, una scelta che serve a rendere gli enunciati più puliti.
Attenzione a un errore di disegno frequente: due rette che sul foglio sembrano non incontrarsi possono benissimo essere incidenti fuori dal foglio. Il parallelismo non si giudica a occhio, si dimostra con gli angoli, come vedrai nei criteri di parallelismo.
Il ponte fra i due concetti
C’è una proprietà che collega perpendicolarità e parallelismo, ed è quella che compare in metà degli esercizi:
Due rette perpendicolari a una stessa retta sono parallele fra loro.
Il motivo è intuitivo: incontrano s con la stessa identica inclinazione, quindi procedono affiancate e non hanno nessun modo di avvicinarsi.
È la proprietà che ti permette di costruire una parallela con squadra e riga: tracci una perpendicolare, poi una perpendicolare a quella, e ottieni una parallela alla prima retta. Due angoli retti in fila fanno una parallela.
Dove le ritrovi
Queste due relazioni non restano in questa pagina: sono ovunque nel programma.
L’altezza di un triangolo è il segmento perpendicolare al lato opposto. L’asse di un segmento è la perpendicolare nel punto medio. Il rettangolo ha i lati opposti paralleli e quelli consecutivi perpendicolari. La distanza di un punto da una retta si misura sulla perpendicolare.
Ogni volta che in geometria si parla di “distanza” o di “altezza”, da qualche parte c’è una perpendicolare.
Se ti blocchi: chiediti prima se si incontrano
Davanti a due rette, fai le domande in quest’ordine e non sbagli mai la classificazione.
Si incontrano? Se no, sono parallele e hai finito.
Se sì, l’angolo che formano è retto? Se sì sono perpendicolari, se no sono soltanto incidenti.
E quando l’esercizio ti chiede di dimostrare che due rette sono parallele, non provare a “vedere” se si incontrano: guarda gli angoli. È l’unico modo affidabile, ed è esattamente quello che fanno i criteri di parallelismo.
✎ Esercizio svolto
Le rette r e t sono entrambe perpendicolari alla stessa retta s. Che rapporto c'è tra r e t? Motiva la risposta.
- Guarda gli angoli con s r forma con s quattro angoli retti, e lo stesso fa t: entrambe incontrano s con la stessa inclinazione, cioè 90°.
- Chiediti se r e t si possono incontrare Se si incontrassero, formerebbero con s un triangolo con due angoli da 90°, e i tre angoli supererebbero già 180°: impossibile.
- Applica la definizione di parallele Due rette complanari che non si incontrano mai sono parallele per definizione.
- Scrivi la conclusione con il simbolo Si scrive r ∥ t.
Soluzione: Le rette r e t sono parallele (r ∥ t), perché due rette perpendicolari a una stessa retta non si intersecano.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Qual è la differenza tra rette parallele e perpendicolari?
Le parallele non si incontrano mai; le perpendicolari si incontrano e formano quattro angoli retti di 90°.
Come si scrivono i simboli di parallelismo e perpendicolarità?
Per le parallele si scrive r ∥ s, con due trattini verticali; per le perpendicolari r ⊥ s.
Quante rette perpendicolari a una retta passano per un punto?
Una sola: dato un punto P e una retta r esiste una e una sola perpendicolare a r passante per P.
Quante parallele a una retta passano per un punto esterno?
Una sola. È una delle proprietà fondamentali della geometria piana.
Due rette perpendicolari alla stessa retta come sono fra loro?
Parallele. Se r ⊥ s e t ⊥ s, allora r ∥ t.
Le rette perpendicolari sono anche incidenti?
Sì. Perpendicolari è un caso particolare di incidenti: si incontrano, e in più formano angoli retti.
Una retta è parallela a se stessa?
Sì, per convenzione: è una scelta che rende più semplici gli enunciati sul parallelismo.