Le tre parole che la geometria non spiega
In matematica ogni parola nuova viene definita usando parole già note. Ma questo gioco non può andare avanti all’infinito: da qualche parte bisogna fermarsi e accettare qualcosa senza spiegazione, altrimenti non si comincia mai.
I tre punti di partenza sono punto, retta e piano. Si chiamano enti geometrici fondamentali proprio per questo: non si definiscono, si descrivono e basta. Tutto il resto della geometria, dal segmento all’angolo al poligono, è costruito a partire da loro.
E il modo più ordinato per tenerli a mente è contare le dimensioni:
| Ente | Dimensioni | Esempio da immaginare |
|---|---|---|
| punto | 0 | il segno di una matita appuntita |
| retta | 1 | un filo teso, infinito nei due versi |
| piano | 2 | un foglio senza spessore, infinito |
| spazio | 3 | il mondo in cui vivi |
Zero, uno, due, tre: ogni riga aggiunge una direzione in cui muoversi.
Che cosa studia la geometria
La geometria studia forma, dimensioni, superficie, volume e posizione degli oggetti.
Gli oggetti reali sono tridimensionali e si chiamano solidi: prisma, piramide, cono, cilindro, sfera, cubo. In ognuno riconosci tre elementi che rimandano proprio ai tre enti fondamentali: le facce (parti di piano), gli spigoli (parti di retta) e i vertici (punti).
Il punto
Il punto è privo di dimensioni: non ha lunghezza, né larghezza, né altezza. Puoi immaginarlo come il segno lasciato da una matita ben temperata, con la differenza che quel segno, per quanto piccolo, uno spessore ce l’ha, mentre il punto no.
Si indica con le lettere maiuscole: A, B, C.
C’è una proprietà che userai spesso: per un punto passano infinite rette, mentre per due punti distinti ne passa una sola. È il motivo per cui, per disegnare una retta precisa, servono sempre due punti.
La retta
Una linea è un ente con una sola dimensione, la lunghezza: la traccia lasciata da una matita in movimento. Se tutti i suoi punti sono allineati, cioè disposti nella stessa direzione, la linea si chiama retta; altrimenti è una linea curva.
La retta è quindi formata da infiniti punti allineati, ha una sola dimensione ed è illimitata nei due versi. Si indica con una lettera minuscola latina: a, b, r.
Quando la disegni sul quaderno ne rappresenti solo un pezzo, ma la retta continua oltre il bordo del foglio. È lo stesso motivo per cui l’ampiezza di un angolo non dipende da quanto lunghi disegni i lati.
La semiretta
Fissa un punto su una retta: quel punto la divide in due parti, chiamate semirette. Ciascuna è infinita in un solo verso, e il punto si chiama origine delle due semirette.
Nota il conto delle infinità: la retta è infinita da due parti, la semiretta da una sola. Aggiungendo un secondo punto la parte in mezzo diventa finita, ed è il segmento: il primo oggetto della geometria che si può misurare.
Il piano
Il piano ha due dimensioni, lunghezza e larghezza. Immaginalo come un foglio perfettamente piatto, senza alcuno spessore ed esteso all’infinito in ogni direzione.
Si indica con una lettera minuscola greca: α, β, γ.
Una retta che giace su un piano lo divide in due parti infinite, ciascuna chiamata semipiano, e la retta si dice origine dei due semipiani. È la stessa idea del punto che divide la retta in due semirette, con una dimensione in più.
Le posizioni reciproche
Punto, retta e piano possono trovarsi in posizioni diverse l’uno rispetto all’altro.
Un punto rispetto a una retta o a un piano può solo appartenere o non appartenere: non ci sono altri casi.
Una retta rispetto a un piano ha tre possibilità:
- giace sul piano, se tutti i suoi punti appartengono al piano;
- lo interseca, se ha in comune un solo punto;
- è parallela al piano, se non ha nessun punto in comune.
Rette complanari
Due rette che appartengono allo stesso piano si dicono complanari, e anche qui i casi sono tre:
- incidenti: un solo punto in comune;
- parallele: nessun punto in comune;
- coincidenti: tutti i punti in comune, cioè sono la stessa retta.
Nota che i casi possibili sono solo questi: due rette complanari non possono avere due punti in comune e poi separarsi, perché per due punti passa una sola retta. È la proprietà del punto, applicata qui.
Le rette incidenti e le parallele hanno una guida tutta loro, dove si aggiunge il caso speciale delle perpendicolari.
Se ti blocchi: conta le dimensioni
Quando un esercizio ti chiede di riconoscere o classificare un ente, la domanda più utile è: in quante direzioni ci si può muovere?
Nessuna direzione? È un punto.
Una sola, avanti e indietro? È una retta, o un suo pezzo. A quel punto guarda gli estremi: nessuno è una retta, uno è una semiretta, due è un segmento.
Due direzioni, come su un foglio? È un piano, o una parte di piano.
Contare le dimensioni e poi contare gli estremi risolve praticamente tutte le domande di questa pagina, senza dover ricordare nessuna definizione a memoria.
✎ Esercizio svolto
Su una retta r fissi il punto O. Quante e quali figure ottieni? E se poi fissi anche il punto A a destra di O, che cosa individui tra O e A?
- Fissa il punto O Un solo punto divide la retta in due parti, infinite in un solo verso: sono due semirette che hanno O come origine comune.
- Aggiungi il punto A Con due punti distinti la retta resta divisa in tre parti: due semirette infinite e una parte finita in mezzo.
- Riconosci la parte finita La parte compresa fra O e A è un segmento, e si indica con OA.
- Nota cosa è cambiato È il primo pezzo di retta che si può misurare: le due semirette restano infinite, il segmento no.
Soluzione: Con un punto ottieni 2 semirette di origine O; aggiungendo A individui il segmento OA.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Quali sono i tre enti geometrici fondamentali?
Punto, retta e piano. Il punto non ha dimensioni, la retta ne ha una (la lunghezza) e il piano ne ha due (lunghezza e larghezza).
Perché si chiamano fondamentali?
Perché non si definiscono a partire da altri concetti: sono il punto di partenza su cui si costruisce tutta la geometria.
Come si indicano punto, retta e piano?
Il punto con una lettera maiuscola (A, B), la retta con una minuscola latina (a, r), il piano con una minuscola greca (α, β).
Che differenza c'è tra retta e semiretta?
La retta è illimitata nei due versi. Un punto fissato su di essa la divide in due semirette, ciascuna infinita in un solo verso.
Quando due rette si dicono complanari?
Quando appartengono allo stesso piano. Possono essere incidenti, parallele o coincidenti.
Che cos'è un semipiano?
Ciascuna delle due parti in cui una retta divide il piano su cui giace. La retta si dice origine dei due semipiani.
Quanti punti servono per individuare una retta?
Due: per due punti distinti passa una sola retta. Per un punto solo ne passano infinite.