Quando disegni un angolo, ne disegni sempre due
Prendi due semirette che partono dallo stesso punto e guarda il foglio: quante parti hai creato? Due. Quella “dentro” e quella “fuori”.
Ed è qui la cosa che i libri dicono in fretta e che invece spiega tutto il resto: sono angoli tutte e due. Non c’è un angolo giusto e uno sbagliato, ce ne sono due, e insieme fanno 360°.
Definizione: si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso da due semirette che hanno l’origine in comune.
Di solito, quando qualcuno dice “l’angolo”, intende quello più piccolo, quello convesso. Ma se un esercizio ti dice che un angolo misura 210°, non c’è nessun errore: sta parlando dell’altro, quello concavo, e ha tutto il diritto di farlo.
Ed è anche il motivo per cui l’archetto nel disegno non è una decorazione: serve a dire di quale dei due stiamo parlando.
Vertice, lati e ampiezza
Le due semirette a e b partono dallo stesso punto O:
- O è il vertice dell’angolo;
- a e b sono i lati;
- l’apertura fra i lati è l’ampiezza, indicata di solito con una lettera greca come α.
L’ampiezza non dipende dalla lunghezza dei lati
Questo è l’altro punto che fa sbagliare quasi tutti quando confrontano due angoli disegnati.
Se disegni un angolo con i lati lunghi 3 cm e un altro identico con i lati lunghi 10 cm, il secondo occupa più spazio sul foglio ma non è più grande. L’ampiezza è la stessa.
Il motivo sta nella definizione: i lati sono semirette, e una semiretta non finisce mai. Quello che disegni è solo un pezzo, tagliato dove finisce il foglio o dove ti è comodo. Allungare o accorciare quel pezzo non cambia niente dell’angolo.
Il modo per convincersene: pensa alle lancette di un orologio. Alle 3 in punto formano un angolo retto, e resterebbe retto anche se le lancette fossero lunghe un metro.
Come si indica un angolo
Lo stesso angolo si può scrivere in tre modi:
- con le semirette e il vertice: aOb, oppure più brevemente ab;
- con i punti e il vertice: AOB, prendendo un punto su ciascun lato;
- con una lettera greca: α, β, γ.
La regola da non sbagliare mai: nelle scritture con tre lettere il vertice sta in mezzo. Scrivere OAB al posto di AOB significa parlare di un altro angolo, con vertice in A.
Angoli convessi e concavi
È la distinzione che nasce direttamente dalle due parti del piano di cui parlavamo all’inizio.
Un angolo è convesso quando non contiene i prolungamenti dei suoi lati; è concavo quando li contiene.
Tradotto in numeri: il convesso è più “chiuso” e misura meno di 180°, il concavo è più “aperto” e misura più di 180°.
Il test rapido con il disegno: prolunga i due lati oltre il vertice con una linea tratteggiata. Se i prolungamenti finiscono dentro la zona colorata, quell’angolo è concavo.
Gli angoli particolari
Quattro angoli hanno un nome proprio, perché servono da riferimento per tutti gli altri:
- angolo nullo: i lati sono sovrapposti, ampiezza 0°;
- angolo retto: i lati sono perpendicolari, ampiezza 90°;
- angolo piatto: i lati formano una retta, ampiezza 180°;
- angolo giro: un lato compie un giro completo, ampiezza 360°.
Fra questi il più importante è l’angolo retto: è metà di un piatto e un quarto di un giro, ed è quello che definisce le rette perpendicolari. Lo ritroverai in ogni figura geometrica del programma, a partire dal triangolo rettangolo.
Nota anche che nullo e giro sono i due estremi della stessa storia: nel primo caso hai preso la parte “vuota”, nel secondo tutta quella “piena”. Sono di nuovo le due parti in cui il piano è diviso.
Angoli congruenti
Due angoli sono congruenti quando, sovrapponendoli, coincidono: hanno cioè la stessa ampiezza.
Per verificarlo si immagina di trasportare un angolo sull’altro facendo combaciare i vertici e uno dei lati. Se anche il secondo lato coincide, sono congruenti.
E qui torna il punto di prima: non conta come sono disegnati, né quanto sono lunghi i lati, né come sono orientati sul foglio. Conta solo l’apertura. Il modo preciso per confrontarli è misurarli in gradi.
Se ti blocchi: guarda l’archetto, non il disegno
Davanti a un angolo che non capisci, fai due domande nell’ordine.
Dove sta l’archetto? Ti dice quale delle due parti del piano è l’angolo di cui si parla. Se abbraccia la zona larga, l’angolo è quello concavo.
Dov’è il vertice? È il punto da cui partono le due semirette, e nella scrittura con tre lettere è quella in mezzo.
Poi ignora completamente quanto sono lunghi i lati disegnati: è l’informazione che sembra più evidente ed è l’unica che non conta niente.
✎ Esercizio svolto
L'angolo di vertice O ha per lati le semirette a e b e misura 210°. Scrivilo in tre modi diversi e stabilisci se è convesso o concavo.
- Indicalo con i punti Presi un punto A sulla semiretta a e un punto B sulla semiretta b, si scrive AOB. La lettera del vertice sta sempre in mezzo.
- Indicalo con le semirette Usando i nomi delle semirette si scrive aOb, oppure più brevemente ab.
- Indicalo con una lettera greca Tutto l'angolo si può chiamare con una sola lettera greca, per esempio α.
- Convesso o concavo? 210° supera l'angolo piatto di 180°, quindi l'angolo contiene i prolungamenti dei suoi lati: è concavo.
Soluzione: L'angolo si scrive AOB, aOb (o ab) oppure α, ed è concavo perché 210° è maggiore di 180°.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
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Domande frequenti
Che cos'è un angolo in geometria?
È ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso da due semirette che hanno l'origine in comune.
Che cos'è il vertice di un angolo?
È il punto comune alle due semirette che formano i lati. Nelle scritture con tre lettere, come AOB, la lettera del vertice va sempre al centro.
L'ampiezza di un angolo dipende dalla lunghezza dei lati?
No. I lati sono semirette e non hanno fine: quello che conta è l'apertura fra loro, non quanto sono lunghi i tratti disegnati sul foglio.
Qual è la differenza tra angolo convesso e concavo?
Il convesso non contiene i prolungamenti dei suoi lati e misura meno di 180°, il concavo li contiene e misura più di 180°.
Quanto misurano l'angolo retto, piatto e giro?
L'angolo retto misura 90°, il piatto 180° e il giro 360°. L'angolo nullo, con i lati sovrapposti, misura 0°.
In quanti modi si può indicare un angolo?
In tre: con le semirette e il vertice (aOb), con i punti e il vertice (AOB) oppure con una lettera greca come α.
Quando due angoli sono congruenti?
Quando, sovrapponendoli, coincidono: hanno cioè la stessa ampiezza, indipendentemente da come sono disegnati.