Tre informazioni bastano, ma non tre qualsiasi
Un triangolo ha sei elementi: tre lati e tre angoli. Per dire che due triangoli sono congruenti sembrerebbe di doverli confrontare tutti e sei, e invece ne bastano tre.
Ma qui sta il punto che sfugge quasi sempre: non tre qualsiasi. Ci sono terne di elementi che bloccano il triangolo in una forma sola, e terne che lo lasciano libero di cambiare dimensione. I criteri di congruenza non sono tre regole da imparare a memoria: sono l’elenco delle terne che funzionano.
Se leggi i tre criteri come risposte alla domanda “quali tre informazioni bastano a ricostruire il triangolo?”, smetti di confonderli. E capisci anche perché il primo criterio insiste tanto sulla parola “compreso”.
Congruenti non vuol dire “che si somigliano”
Due figure sono congruenti quando, sovrapponendole, coincidono punto per punto. Due triangoli congruenti hanno i lati e gli angoli ordinatamente uguali: uno è la copia esatta dell’altro.
Attenzione, però: uno dei due può essere disegnato ruotato, capovolto o ribaltato. Restano congruenti lo stesso, perché per sovrapporli basta girare il foglio. La congruenza riguarda le misure, non l’orientamento nella pagina.
Nel disegno i trattini sui lati servono proprio a questo: dicono quali lati si corrispondono, indipendentemente da come è girata la figura.
Primo criterio: due lati e l’angolo compreso
Due triangoli sono congruenti quando hanno congruenti due lati e l’angolo compreso fra quei due lati.
Immagina due bastoncini incernierati in un punto, come le due lame di una forbice. Le lunghezze sono fissate, e l’unica cosa che puoi ancora cambiare è quanto li apri: se blocchi anche l’apertura, la punta dei due bastoncini finisce in un posto solo, e il terzo lato si disegna da sé.
La parola compreso non è un dettaglio, è tutto il criterio. Se l’angolo che conosci non sta fra i due lati, la cerniera resta libera e il triangolo non è determinato.
Secondo criterio: un lato e i due angoli adiacenti
Due triangoli sono congruenti quando hanno congruenti un lato e i due angoli adiacenti a quel lato.
Qui il ragionamento è rovesciato rispetto al primo. Disegna il lato che conosci: dai suoi due estremi parte una semiretta ciascuno, inclinata di un angolo che conosci. Due semirette con direzioni fissate si incontrano in un solo punto, e quel punto è il terzo vertice.
C’è un bonus di cui approfittare: siccome i tre angoli di un triangolo sommano 180°, conoscendone due si ricava subito il terzo. Quindi un lato e due angoli qualsiasi bastano, anche quando uno dei due non tocca il lato.
Terzo criterio: tutti e tre i lati
Due triangoli sono congruenti quando hanno congruenti tutti e tre i lati.
È il criterio più diretto, e lo hai già incontrato senza saperlo: è un altro modo di dire che il triangolo è indeformabile. Tre lunghezze che rispettano la disuguaglianza triangolare formano un triangolo solo, quindi due triangoli con gli stessi tre lati non possono che essere identici.
Fai la prova con il quadrato e capisci la differenza: quattro lati uguali possono dare un quadrato o un rombo schiacciato. Con tre lati questo non succede, ed è il motivo per cui i poligoni con più di tre lati non hanno criteri così comodi.
Le combinazioni che non funzionano
Ecco la parte che i libri raccontano poco, ed è quella che fa sbagliare gli esercizi.
Tre angoli congruenti non bastano. Due triangoli con gli stessi tre angoli hanno la stessa forma, ma possono essere uno grande e uno piccolo: pensa a una fotografia e al suo ingrandimento. Si dicono simili, non congruenti.
Due lati e un angolo non compreso non bastano. Se l’angolo che conosci sta a un’estremità invece che in mezzo, il secondo lato può chiudersi in due punti diversi, e i triangoli che ne escono sono due.
La regola che riassume tutto è semplice: in ogni criterio che funziona compare almeno un lato. Gli angoli da soli descrivono la forma, ma è un lato a decidere la taglia.
Come si sceglie il criterio in un esercizio
Non serve rileggere i tre enunciati ogni volta. Conta gli elementi congruenti che il testo ti dà e segui questa tabella.
| elementi dati | criterio | controllo da fare |
|---|---|---|
| 3 lati | terzo | nessuno, funziona sempre |
| 2 lati + 1 angolo | primo | l’angolo è compreso fra i due lati? |
| 1 lato + 2 angoli | secondo | nessuno, il terzo angolo si ricava |
| 3 angoli | nessuno | mancano i lati: sono solo simili |
L’unica riga che richiede attenzione è la seconda, ed è sempre lì che si perdono i punti in verifica. Prima di scrivere “primo criterio”, guarda il disegno e controlla che l’angolo stia proprio in mezzo ai due lati dati.
Se ti blocchi: parti dai lati, non dagli angoli
Quando un esercizio ti chiede se due triangoli sono congruenti, la prima domanda non è “quale criterio uso”: è quanti lati congruenti ho.
Tre lati? Hai finito, terzo criterio.
Due lati? Ti serve l’angolo in mezzo, e solo quello. Se il testo te ne dà un altro, non puoi concludere.
Un lato? Allora ti servono due angoli, e vanno benissimo due qualsiasi.
Nessun lato? Non c’è niente da fare: puoi dire che i triangoli hanno la stessa forma, ma non che sono congruenti.
Contare i lati prima degli angoli fa arrivare al criterio giusto in un passaggio, e ti salva proprio nei casi in cui l’esercizio è costruito apposta per farti sbagliare.
✎ Esercizio svolto
Due triangoli ABC e DEF hanno AB = DE = 5 cm, AC = DF = 4 cm e l'angolo in A congruente all'angolo in D. Stabilisci se sono congruenti e con quale criterio.
- Elenca gli elementi congruenti Sono uguali due lati (AB = DE e AC = DF) e un angolo, quello in A congruente a quello in D. Gli elementi sono tre: il numero giusto.
- Controlla che l'angolo sia quello compreso L'angolo in A è formato proprio dai lati AB e AC, cioè dai due lati che sappiamo essere congruenti. È quindi l'angolo compreso, e questo è il controllo decisivo.
- Scegli il criterio giusto Due lati e l'angolo compreso congruenti sono esattamente l'ipotesi del primo criterio.
- Nota cosa sarebbe cambiato Se l'angolo congruente fosse stato quello in B invece che quello in A, non sarebbe stato compreso fra i due lati dati e nessun criterio si sarebbe potuto applicare.
Soluzione: I due triangoli sono congruenti per il primo criterio: due lati e l'angolo compreso.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Quanti sono i criteri di congruenza dei triangoli?
Sono tre. Primo: due lati e l'angolo compreso. Secondo: un lato e i due angoli adiacenti. Terzo: tutti e tre i lati congruenti.
Che cosa significa che due triangoli sono congruenti?
Che sovrapponendoli coincidono punto per punto: hanno i tre lati e i tre angoli ordinatamente uguali, anche se sono disegnati ruotati o ribaltati.
Perché bastano tre elementi e non tutti e sei?
Perché tre elementi scelti bene bloccano la forma del triangolo: gli altri tre restano determinati e non possono essere diversi.
Che differenza c'è tra primo e secondo criterio?
Nel primo si conoscono due lati e l'angolo che sta in mezzo a loro. Nel secondo si conosce un lato e i due angoli che stanno alle sue estremità.
Due triangoli con i tre angoli uguali sono congruenti?
No. Tre angoli uguali garantiscono solo la stessa forma: i triangoli possono avere dimensioni diverse. Serve almeno un lato congruente.
Perché nel primo criterio l'angolo deve essere quello compreso?
Perché l'angolo fra i due lati decide quanto sono aperti: fissarlo chiude la figura in un modo solo. Un angolo diverso dai due lati non basta a determinare il triangolo.
Come si capisce quale criterio usare in un esercizio?
Si contano gli elementi congruenti dati. Tre lati: terzo criterio. Due lati e un angolo: primo, se l'angolo è compreso. Un lato e due angoli: secondo.