Area del Trapezio e dei Poligoni Regolari: Formule

Perché nel trapezio le basi si sommano

La formula del trapezio è quella che sembra più strana di tutte:

A = (B + b) · h : 2

Perché mai si dovrebbero sommare due basi diverse? Nelle altre figure la base era una sola.

La risposta è lo stesso trucco che hai usato con il triangolo. Prendi due trapezi identici e gira il secondo di mezzo giro: incastrandoli ottieni un parallelogramma.

E quanto è lunga la base di quel parallelogramma? È la base lunga di un trapezio più la base corta dell’altro, cioè B + b. L’altezza invece resta la stessa.

Quindi il parallelogramma ha area (B + b) · h, e siccome è fatto di due trapezi, uno solo vale la metà.

Ecco da dove viene tutto: la somma delle basi e il diviso due non sono due stranezze separate, sono le due conseguenze dello stesso incastro.

La formula del trapezio, in pratica

A = (B + b) · h : 2

Dove B è la base maggiore, b la base minore e h l’altezza, cioè la distanza perpendicolare fra le due basi.

L’ordine dei passaggi conta: prima si sommano le basi, poi si moltiplica per l’altezza, poi si divide per due. Se moltiplichi prima, la parentesi salta e il risultato cambia.

Come sempre, la formula si può girare. Se ti danno l’area e cercano una base:

B + b = A · 2 : h, e poi togli la base che conosci.

E se ti danno il lato obliquo invece dell’altezza, quasi certamente il problema vuole Pitagora: il lato obliquo è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateto l’altezza.

Un controllo che funziona sempre

Il trapezio sta fra due figure che sai già calcolare: è più grande del rettangolo costruito sulla base minore e più piccolo di quello costruito sulla base maggiore.

basi 10 e 6, altezza 4 → l’area sta fra 6 · 4 = 24 e 10 · 4 = 40

E infatti viene 32, giusto in mezzo. Se il tuo risultato cade fuori da quell’intervallo, c’è un errore.

I poligoni regolari: tanti triangoli uguali

A = (p · a) : 2

Un poligono regolare ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Se unisci il centro a tutti i vertici, lo dividi in triangoli tutti identici: tre in un triangolo equilatero, sei in un esagono, otto in un ottagono.

Ogni triangolo ha per base un lato del poligono e per altezza la distanza dal centro al punto medio del lato: quella distanza si chiama apotema.

Sommando le aree di tutti i triangoli:

A = (lato · apotema : 2) × numero di lati

E siccome lato × numero di lati è il perimetro, la formula si accorcia così:

$A = \dfrac{\text{perimetro} \cdot a}{2}$

Attenzione a come la scrivi. Sui libri delle medie il perimetro si indica con 2p e il semiperimetro con p, quindi la stessa formula si trova in due vesti che sembrano diverse:

$A = \dfrac{2p \cdot a}{2}$  oppure, più corta,  $A = p \cdot a$

Sono la stessa cosa: nella seconda il diviso due è già stato fatto passando al semiperimetro. Se scrivi p e poi dividi ancora per 2, sbagli di metà.

E se il problema non ti dà l’apotema? Capita spesso: ti danno solo il lato. Allora si usa il numero fisso del poligono, un valore diverso per ogni figura:

$a = l \cdot f$

Per esempio $f = 0{,}688$ per il pentagono e $f = 0{,}866$ per l’esagono. I numeri fissi si trovano sulle tavole del libro: trovato l’apotema, torni alla formula di prima.

Anche qui, quindi, niente di nuovo: è la formula del triangolo, ripetuta e messa insieme.

Le figure complesse: scomporre o completare

Nei problemi capitano figure che non hanno un nome: una L, una cornice, un pezzo di giardino irregolare. Non serve nessuna formula nuova, servono due strategie.

Scomporre. Taglia la figura in rettangoli e triangoli, calcola l’area di ciascuno e sommale.

Completare. A volte è più comodo il contrario: immagina il rettangolo che contiene tutta la figura, calcola la sua area e sottrai i pezzi che avanzano.

Per una figura a L la prima strada è più naturale, per una cornice la seconda: calcoli il rettangolo esterno e togli quello interno.

Il consiglio pratico è scegliere la strada che richiede meno pezzi: ogni pezzo in più è un’occasione in più di sbagliare.

Se ti blocchi: guarda quanti pezzi ti servono

Davanti a una figura che non riconosci, fai questo.

Ha due lati paralleli e due no? È un trapezio: cerca le due basi e l’altezza perpendicolare fra loro.

Ha tutti i lati uguali e un centro? È regolare: ti serviranno perimetro e apotema.

Non assomiglia a niente? Prendi la matita e traccia una riga che la spezzi in figure che conosci. Poi decidi se ti conviene sommare i pezzi o completare e sottrarre.

E in tutti i casi, prima di consegnare, fai la stima: confronta il tuo risultato con l’area del rettangolo che contiene la figura. Deve essere più piccolo, e non di poco se la figura è molto “vuota”.