I due che restano fuori dalla famiglia
Nella pagina su parallelogramma e rombo hai visto un albero: parallelogramma, rettangolo, rombo, quadrato, tutti imparentati fra loro.
Trapezio e deltoide non stanno in quell’albero, ed è la cosa più utile da sapere su di loro. Il motivo è il numero di coppie di lati paralleli:
| Figura | Coppie di lati paralleli |
|---|---|
| parallelogramma e derivati | due |
| trapezio | una |
| deltoide | nessuna |
Da qui discende tutto il resto. Siccome non sono parallelogrammi, non ereditano le loro proprietà: nel trapezio i lati opposti non sono uguali, gli angoli opposti non sono uguali, le diagonali non si tagliano a metà.
Ed è anche il motivo per cui la formula dell’area del trapezio è diversa da tutte, con le due basi sommate: perché le due basi sono davvero diverse fra loro.
Il trapezio
Il trapezio è un quadrilatero con una sola coppia di lati paralleli.
- i due lati paralleli si chiamano basi: quella più lunga è la base maggiore (B), l’altra la base minore (b);
- gli altri due lati si chiamano lati obliqui;
- l’altezza (h) è la distanza perpendicolare fra le due basi.
Attenzione all’altezza: è la stessa insidia di tutte le figure oblique. Il lato obliquo non è l’altezza, tranne nel caso particolare del trapezio rettangolo.
Una proprietà utile sugli angoli. Le basi sono parallele e i lati obliqui fanno da trasversali, quindi gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono coniugati interni e la loro somma fa 180°.
Un angolo alla base maggiore misura 70°? Quello sopra, sullo stesso lato, misura 180° − 70° = 110°.
I tre tipi di trapezio
Scaleno: i due lati obliqui sono diversi. È il caso generale, senza proprietà in più.
Rettangolo: ha due angoli retti, perché uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi. Quel lato è l’altezza, e questo rende i problemi molto più semplici.
Isoscele: i due lati obliqui sono uguali. È il tipo con più proprietà:
- angoli alla stessa base uguali fra loro;
- diagonali uguali;
- un asse di simmetria, quello che passa per i punti medi delle due basi.
Il trapezio isoscele è l’unico dei tre ad avere un asse di simmetria, ed è per questo che nei disegni sembra il più “ordinato”.
Il deltoide
Il deltoide ha due coppie di lati consecutivi uguali. Attenzione alla parola: non opposti, consecutivi, cioè attaccati.
È la forma dell’aquilone, e da lì viene anche il nome in molte lingue.
Le sue proprietà:
- diagonali perpendicolari;
- una diagonale è asse dell’altra, cioè la taglia a metà;
- un asse di simmetria, la diagonale maggiore.
Nota che condivide con il rombo la perpendicolarità delle diagonali, ed è per questo che le due figure hanno la stessa formula dell’area: il semiprodotto delle diagonali. Il rombo è, di fatto, un deltoide con tutti e quattro i lati uguali.
Il trucco per i problemi: staccare il triangolo rettangolo
Quasi tutti i problemi sul trapezio si risolvono con la stessa mossa: traccia l’altezza da un vertice della base minore.
Quello che si stacca è un triangolo rettangolo che ha:
- per un cateto l’altezza del trapezio;
- per l’altro cateto la differenza fra le basi (o la sua metà, nel trapezio isoscele);
- per ipotenusa il lato obliquo.
A quel punto entra in gioco il teorema di Pitagora e il problema si chiude.
B = 14, b = 8, h = 8 → cateti 8 e 6 → lato obliquo = √(64 + 36) = 10
Nel trapezio isoscele i triangoli che si staccano sono due e sono uguali, quindi la differenza fra le basi va divisa per due prima di usarla come cateto. È la distinzione che fa sbagliare più esercizi del capitolo.
Se ti blocchi: conta le coppie di lati paralleli
Per capire con che figura hai a che fare, la domanda giusta è una sola: quante coppie di lati paralleli ci sono?
Due? Sei nella famiglia dei parallelogrammi: guarda diagonali e angoli per capire quale.
Una? È un trapezio. Poi guarda i lati obliqui: uguali significa isoscele, uno perpendicolare significa rettangolo, diversi significa scaleno.
Nessuna? Se ha due coppie di lati consecutivi uguali è un deltoide, altrimenti è un quadrilatero qualsiasi.
E nei problemi, appena vedi un trapezio, la prima riga da scrivere sul disegno è l’altezza: nove volte su dieci è lei ad aprire la strada.
✎ Esercizio svolto
In un trapezio rettangolo la base maggiore misura 14 cm, la base minore 8 cm e l'altezza 8 cm. Quanto misura il lato obliquo?
- Fai il disegno e trova il triangolo Nel trapezio rettangolo un lato è perpendicolare alle basi. Tracciando l'altezza dall'altro vertice si stacca un triangolo rettangolo.
- Trova i cateti del triangolo Un cateto è l'altezza, 8 cm. L'altro è la differenza fra le basi: 14 − 8 = 6 cm.
- Applica Pitagora Il lato obliquo è l'ipotenusa: 8² + 6² = 64 + 36 = 100.
- Estrai la radice √100 = 10 cm.
Soluzione: Il lato obliquo misura 10 cm.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Che cos'è un trapezio?
Un quadrilatero con una sola coppia di lati paralleli, chiamati basi. Gli altri due lati si dicono obliqui.
Quali sono i tipi di trapezio?
Scaleno se i lati obliqui sono diversi, rettangolo se ha due angoli retti, isoscele se i lati obliqui sono uguali.
Quali proprietà ha il trapezio isoscele?
Lati obliqui uguali, angoli alla stessa base uguali, diagonali uguali e un asse di simmetria.
Che cos'è l'altezza del trapezio?
La distanza perpendicolare fra le due basi, non la lunghezza del lato obliquo.
Che cos'è un deltoide?
Un quadrilatero con due coppie di lati consecutivi uguali. Le sue diagonali sono perpendicolari e una è asse dell'altra.
Il trapezio è un parallelogramma?
No: il parallelogramma ha due coppie di lati paralleli, il trapezio una sola.
Come si trova il lato obliquo di un trapezio rettangolo?
Con il teorema di Pitagora, usando come cateti l'altezza e la differenza fra le due basi.