I quadrilateri sono una famiglia, non un elenco
Il capitolo dei quadrilateri sembra una sfilata di sei figure con sei liste di proprietà da mandare a memoria: quadrato, rettangolo, parallelogramma, rombo, trapezio, deltoide. Sono decine di righe, e si confondono tutte.
C’è un modo molto più economico di tenerle a mente, ed è guardarle come una famiglia con un albero genealogico:
Parallelogramma → aggiungi gli angoli retti → rettangolo → aggiungi i lati uguali → quadrato
Parallelogramma → aggiungi i lati uguali → rombo → aggiungi gli angoli retti → quadrato
Ogni figura eredita tutto da quella prima di lei e ci mette una proprietà in più. Il quadrato sta in fondo a tutti e due i rami: è insieme un rettangolo e un rombo, ed è per questo che è la figura con più proprietà di tutte.
Capito l’albero, non devi più ricordare quale proprietà appartiene a chi: scendi lungo il ramo e le raccogli.
Quello che vale per tutti: 360°
Prima di scendere nell’albero, una proprietà che vale per qualunque quadrilatero, anche il più storto:
La somma degli angoli interni è sempre 360°.
Il motivo lo conosci già dai poligoni particolari: tracciando una diagonale, il quadrilatero si spezza in due triangoli, e ogni triangolo vale 180°. Due volte 180 fa 360.
È anche il caso n = 4 della formula generale 180° · (n − 2): 180 · 2 = 360.
Da qui esce l’esercizio più tipico del capitolo: dati tre angoli, trova il quarto con una sottrazione da 360°.
Il rettangolo
Il rettangolo è un parallelogramma con i quattro angoli retti. Da questo discende tutto:
- lati opposti paralleli e uguali (ereditato dal parallelogramma);
- quattro angoli di 90°;
- diagonali che si tagliano a metà (ereditato);
- diagonali uguali fra loro (questa è sua).
L’ultima proprietà è la firma del rettangolo: nel parallelogramma normale le diagonali si tagliano a metà ma sono di lunghezze diverse, qui diventano identiche.
Ha due soli assi di simmetria: le due rette che uniscono i punti medi dei lati opposti. Le diagonali non sono assi di simmetria, e si vede piegando il foglio lungo una diagonale: i vertici sporgono e le due metà non si sovrappongono.
Un dettaglio utile per i problemi: la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli, quindi si calcola con il teorema di Pitagora partendo dai due lati.
Il quadrato
Il quadrato è un rettangolo con anche i quattro lati uguali. Eredita tutto e aggiunge:
- quattro lati uguali;
- diagonali perpendicolari fra loro;
- diagonali che sono bisettrici degli angoli;
- quattro assi di simmetria (i due del rettangolo più le due diagonali).
È il quadrilatero più “ricco”: ha tutte le proprietà di tutti gli altri messe insieme. Ed è anche l’unico poligono regolare fra i quadrilateri, perché è insieme equilatero ed equiangolo.
La diagonale del quadrato. La diagonale lo divide in due triangoli rettangoli isosceli con gli angoli di 45°, quindi con Pitagora si ricava una scorciatoia che vale la pena sapere a memoria:
È una delle domande più frequenti nelle verifiche e nelle prove Invalsi.
Attenzione: il verso conta
Ecco il punto che in verifica vale più di tutti.
Ogni quadrato è un rettangolo. Vero: ha tutte le proprietà del rettangolo.
Ogni rettangolo è un quadrato. Falso: un rettangolo 3 × 8 non ha i lati uguali.
È lo stesso ragionamento del triangolo equilatero che è anche isoscele, o del quadrato che nella vita di tutti i giorni non chiameresti mai “rettangolo” pur essendolo.
Le domande vero o falso su questo sono il classico tranello: leggi bene in che verso è scritta la frase.
Se ti blocchi: parti dagli angoli, poi guarda i lati
Per riconoscere un quadrilatero, due domande nell’ordine giusto.
Gli angoli sono tutti retti? Se sì sei nel ramo del rettangolo. Se no, è un parallelogramma, un rombo o un trapezio.
I lati sono tutti uguali? Se sì scendi ancora: con gli angoli retti sei nel quadrato, senza sei nel rombo.
E per i problemi numerici, il punto di partenza è quasi sempre lo stesso: 360° in tutto. Se ti mancano angoli, quella sottrazione è la prima mossa.
✎ Esercizio svolto
In un quadrilatero tre angoli misurano 90°, 85° e 100°. Quanto misura il quarto? La figura può essere un rettangolo?
- Ricorda la somma degli angoli In ogni quadrilatero gli angoli interni sommano 360°, perché si divide in due triangoli da 180° ciascuno.
- Somma quelli che conosci 90 + 85 + 100 = 275°.
- Trova il quarto 360 − 275 = 85°.
- Rispondi alla domanda In un rettangolo tutti e quattro gli angoli sono retti. Qui ce n'è uno solo da 90°, quindi non può essere un rettangolo.
Soluzione: Il quarto angolo misura 85°; la figura non è un rettangolo.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
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Domande frequenti
Quanto vale la somma degli angoli interni di un quadrilatero?
Sempre 360°, perché tracciando una diagonale il quadrilatero si divide in due triangoli da 180° ciascuno.
Quali sono le proprietà del rettangolo?
Lati opposti paralleli e uguali, quattro angoli retti, diagonali uguali che si tagliano a metà.
Quali sono le proprietà del quadrato?
Tutte quelle del rettangolo più i quattro lati uguali, quindi anche diagonali perpendicolari e bisettrici degli angoli.
Il quadrato è un rettangolo?
Sì: ha tutte le proprietà del rettangolo e in più i lati uguali. Non vale il contrario, perché un rettangolo lungo non è un quadrato.
Che differenza c'è tra quadrato e rombo?
Tutti e due hanno i quattro lati uguali, ma solo il quadrato ha anche i quattro angoli retti.
Le diagonali del rettangolo sono perpendicolari?
No, sono uguali e si tagliano a metà ma non formano angoli retti. Diventano perpendicolari solo nel quadrato.
Quanti assi di simmetria ha un rettangolo?
Due, che passano per i punti medi dei lati opposti. Il quadrato ne ha quattro, perché si aggiungono le diagonali.