La linea di frazione era davvero un diviso
In prima media hai imparato che la linea di frazione è un segno di diviso, e che 3/4 significa 3 : 4. Adesso quella frase smette di essere un modo di dire e diventa un’operazione da fare davvero.
3/4 → 3 : 4 = 0,75
Ogni frazione, eseguendo la divisione, diventa un numero decimale. Non è una trasformazione, è la stessa quantità scritta in un altro modo: sono due vestiti dello stesso numero.
La cosa interessante è che la divisione può finire in due modi soltanto:
- si chiude, e ottieni un decimale finito: 3 : 4 = 0,75, e poi zero;
- non si chiude mai, e ottieni un decimale periodico: 1 : 3 = 0,333… all’infinito.
E qui arriva la parte utile: non devi fare la divisione per sapere in quale dei due casi ti trovi. Basta guardare il denominatore.
La regola del denominatore
Semplifica la frazione ai minimi termini, poi scomponi il denominatore in fattori primi.
Se trovi solo 2 e 5 → decimale finito.
Se trovi qualsiasi altro fattore → decimale periodico. E in più:
solo altri fattori, niente 2 né 5 → periodico semplice;
altri fattori insieme a 2 o 5 → periodico misto, con l’antiperiodo.
Provala:
| Frazione | Denominatore | Previsione | Risultato |
|---|---|---|---|
| 7/8 | 2³ | finito | 0,875 |
| 3/20 | 2² · 5 | finito | 0,15 |
| 1/3 | 3 (né 2 né 5) | periodico semplice | 0,333… |
| 5/6 | 2 · 3 (misto) | periodico misto | 0,833… |
| 7/12 | 2² · 3 (misto) | periodico misto | 0,5833… |
Nelle verifiche non basta quasi mai scrivere “periodico”: la consegna chiede di dire quale dei due. E la distinzione si legge dal denominatore, senza fare la divisione.
Funziona sempre, e in verifica è oro: la domanda “senza eseguire la divisione, stabilisci se…” è tra le più frequenti del capitolo.
Perché proprio 2 e 5
La regola sembra arbitraria finché non guardi da dove viene.
Un decimale finito è, in fondo, una frazione con denominatore 10, 100 o 1000: 0,75 è 75/100. Quindi la domanda vera è: questa frazione si può trasformare in una con il 10 sotto?
E il 10 si scompone in 2 · 5. Le sue potenze pure: 100 = 2² · 5², 1000 = 2³ · 5³. Non c’è nessun altro fattore primo dentro le potenze di 10.
Quindi un denominatore può diventare una potenza di 10 solo se è già fatto di 2 e di 5. Se c’è un 3 o un 7, non lo trasformerai mai, e la divisione non si chiuderà.
Non è una regola da memorizzare: è la scomposizione in fattori primi applicata al numero 10.
Semplificare prima: è obbligatorio
C’è un passaggio che salta in tanti, e fa sbagliare la previsione.
6/15
Il denominatore 15 = 3 · 5 contiene un 3, quindi sembrerebbe periodico. E invece:
6/15 = 2/5 = 0,4
Finito. Il problema è che la frazione non era ridotta: il 3 stava anche al numeratore e si semplificava.
La regola vale solo sulla frazione ridotta ai minimi termini. Quindi la sequenza corretta è: prima semplifica, poi scomponi il denominatore, poi decidi.
Le frazioni decimali
Ci sono frazioni che non richiedono nessun calcolo: quelle con denominatore 10, 100, 1000, che si chiamano frazioni decimali.
7/10 = 0,7 · 25/100 = 0,25 · 3/1000 = 0,003
La regola è quella che conosci da moltiplicare e dividere per 10, 100, 1000: il numero di zeri al denominatore dice quante cifre decimali avrà il risultato.
E funziona anche il contrario: qualunque frazione con denominatore fatto di soli 2 e 5 si può trasformare in decimale moltiplicando sopra e sotto per il numero giusto.
3/20 → moltiplico per 5 → 15/100 = 0,15
È spesso più veloce della divisione in colonna.
Come si esegue la divisione
Quando serve calcolare davvero, la divisione si fa come sempre, con una sola accortezza: quando il numeratore è più piccolo del denominatore, si mette 0 seguito dalla virgola nel quoziente e si va avanti aggiungendo zeri al resto.
3 : 4 → 3 è minore di 4, scrivo 0, → 30 : 4 = 7 con resto 2 → 20 : 4 = 5 → 0,75
Se a un certo punto il resto diventa 0, la divisione è finita e il decimale è finito. Se invece un resto si ripete, sei entrato in un ciclo: il decimale è periodico.
Se ti blocchi: guarda il denominatore prima di dividere
Prima di mettere mano alla divisione in colonna, spendi dieci secondi così.
Uno. La frazione è ridotta ai minimi termini? Se no, semplifica.
Due. Scomponi il denominatore. Ci sono solo 2 e 5?
Tre. Se sì, prova a trasformarlo in 10, 100 o 1000 moltiplicando sopra e sotto: spesso arrivi al risultato senza dividere.
Quattro. Se ci sono altri fattori, sai già che verrà periodico: fai la divisione e fermati appena vedi ripetersi un resto.
Sapere in anticipo che tipo di numero uscirà ti evita di continuare a dividere all’infinito sperando che si chiuda.
✎ Esercizio svolto
Prevedi se 7/8 e 5/6 danno un decimale finito o periodico, poi calcolali.
- Scomponi i denominatori 8 = 2 · 2 · 2, cioè 2³: ci sono solo 2. Invece 6 = 2 · 3: c'è anche un 3.
- Applica la regola Con soli 2 e 5 il decimale è finito, quindi 7/8 sarà finito. Il 3 in 6 fa prevedere un periodico per 5/6.
- Esegui la prima divisione 7 : 8 = 0,875. Finito, come previsto, con tre cifre decimali.
- Esegui la seconda 5 : 6 = 0,8333… Il 3 continua a ripetersi, quindi è periodico e si scrive 0,83 con la barretta sul 3.
Soluzione: 7/8 = 0,875 (finito); 5/6 = 0,833… (periodico misto).
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
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Domande frequenti
Come si trasforma una frazione in numero decimale?
Si divide il numeratore per il denominatore: 3/4 diventa 3 : 4 = 0,75.
Come faccio a sapere se il decimale sarà finito?
Si semplifica la frazione e si scompone il denominatore: se contiene solo i fattori 2 e 5, il decimale è finito.
Perché contano proprio il 2 e il 5?
Perché sono i fattori primi di 10: solo con loro il denominatore può diventare 10, 100 o 1000, cioè una frazione decimale.
Che cosa sono le frazioni decimali?
Quelle con denominatore 10, 100, 1000: si trasformano subito spostando la virgola, come 7/10 = 0,7.
Perché bisogna semplificare prima di decidere?
Perché la frazione potrebbe nascondere fattori che si cancellano: 6/15 sembra periodica, ma semplificata è 2/5 e dà 0,4.
Ogni frazione dà un numero decimale?
Sì. La divisione o si chiude, e il decimale è finito, oppure entra in un ciclo, e il decimale è periodico. Non ci sono altri casi.
Un numero decimale si può riportare a frazione?
Sì, con la frazione generatrice: il percorso funziona anche al contrario.