Il viaggio di ritorno
Nella guida su come si passa da frazione a decimale hai fatto la strada in un verso: dividi il numeratore per il denominatore e ottieni un numero con la virgola.
Adesso la stessa strada si percorre al contrario: dato un numero decimale, qual era la frazione di partenza?
Quella frazione si chiama generatrice, e il nome dice tutto: è la frazione che genera quel decimale.
0,75 → la generatrice è 3/4
0,333… → la generatrice è 1/3
Perché serve? Perché nei calcoli le frazioni sono più maneggevoli dei decimali, soprattutto quando il decimale è periodico. Provare a moltiplicare 0,333… per 3 scrivendo i puntini è scomodo; farlo con 1/3 dà subito 1.
Il decimale finito: solo zeri
È il caso più semplice, e lo sai già dalle frazioni decimali.
Al numeratore le cifre senza la virgola. Al denominatore un 1 con tanti zeri quante sono le cifre decimali.
0,75 → 75/100 → semplificato 3/4
0,4 → 4/10 → 2/5
1,25 → 125/100 → 5/4
Il risultato va sempre ridotto ai minimi termini: è parte della risposta, non un extra.
Il periodico semplice: solo nove
Qui succede la cosa che sorprende: al posto degli zeri compaiono dei 9.
Al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Al numeratore il numero scritto senza virgola, meno la parte intera.
0,333… → periodo di 1 cifra → denominatore 9 → numeratore 3 − 0 = 3 → 3/9 = 1/3
Nei libri e nelle verifiche il periodo si trova quasi sempre scritto con la lineetta sopra le cifre che si ripetono, o fra parentesi: 0,3 con la barretta (oppure 0,(3)) significa 0,333… e 0,27 con la barretta sul 27 (oppure 0,(27)) significa 0,272727…
0,272727… → periodo di 2 cifre → denominatore 99 → numeratore 27 → 27/99 = 3/11
Da dove vengono i nove? Da questa osservazione:
1/9 = 0,111… · 1/99 = 0,0101… · 1/999 = 0,001001…
I numeri fatti di soli nove sono esattamente quelli che producono i periodi. Quindi tornando indietro sono loro a dover comparire sotto.
Il periodico misto: nove e poi zeri
Il caso completo mette insieme le due regole precedenti.
Al denominatore: tanti 9 quante le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante quelle dell’antiperiodo.
Al numeratore: tutto il numero senza virgola, meno la parte che non si ripete (parte intera e antiperiodo).
Vediamolo su 0,1666…:
- antiperiodo 1 (una cifra), periodo 6 (una cifra);
- denominatore: un 9 e uno 0 → 90;
- numeratore: 16 − 1 = 15;
- risultato: 15/90 = 1/6.
E su 2,58333…:
- parte intera 2, antiperiodo 58 (due cifre), periodo 3 (una cifra);
- denominatore: un 9 e due 0 → 900;
- numeratore: 2583 − 258 = 2325;
- risultato: 2325/900 = 31/12.
La regola sembra lunga, ma è tutta contenuta in una frase: i nove contano il periodo, gli zeri contano l’antiperiodo.
Lo schema, tutto insieme
| Tipo | Denominatore | Numeratore |
|---|---|---|
| finito | 1 con tanti 0 quante le cifre decimali | il numero senza virgola |
| periodico semplice | tanti 9 quante le cifre del periodo | numero senza virgola − parte intera |
| periodico misto | tanti 9 (periodo) + tanti 0 (antiperiodo) | numero senza virgola − parte che non si ripete |
Guarda la colonna del denominatore: è sempre la stessa idea. Gli zeri vengono dalle cifre che non si ripetono, i nove dalle cifre che si ripetono.
La sorpresa: 0,999… fa 1
Applica la regola del periodico semplice a 0,999…:
- periodo di una cifra → denominatore 9;
- numeratore: 9 − 0 = 9;
- risultato: 9/9 = 1.
Quindi 0,999… non è un numero appena sotto l’uno: è l’uno, scritto in un altro modo.
Sembra impossibile, e invece è la conseguenza diretta della regola. Un altro modo di convincersene: 1/3 = 0,333…, quindi 3 · (1/3) = 0,999…, ma 3 · (1/3) fa 1.
Se ti blocchi: conta le cifre, non ricordare la formula
Il modo pratico per non sbagliare, in tre mosse.
Uno. Guarda il numero e conta: quante cifre ha il periodo? Quante l’antiperiodo?
Due. Costruisci il denominatore scrivendo prima quel numero di 9, poi quel numero di 0.
Tre. Al numeratore scrivi il numero senza virgola, poi togli la parte da cui il periodo non è ancora cominciato.
E alla fine semplifica, sempre.
Se vuoi essere sicuro del risultato, fai la verifica al contrario: esegui la divisione della frazione che hai trovato e controlla che ricompaia il decimale di partenza.
✎ Esercizio svolto
Trova la frazione generatrice di 0,75 e di 0,1666…
- Riconosci il primo tipo 0,75 è un decimale finito con due cifre decimali, quindi il denominatore è 100.
- Scrivi e semplifica 75/100, che semplificato dividendo per 25 dà 3/4.
- Analizza il secondo numero 0,1666… ha antiperiodo 1 (una cifra) e periodo 6 (una cifra): è periodico misto.
- Applica la regola Denominatore: un 9 (per il periodo) e uno 0 (per l'antiperiodo), cioè 90. Numeratore: 16 − 1 = 15. Viene 15/90, che semplificato dà 1/6.
Soluzione: 0,75 = 3/4 e 0,1666… = 1/6.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
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Domande frequenti
Che cos'è la frazione generatrice?
La frazione che, eseguendo la divisione, dà quel numero decimale. Per esempio la generatrice di 0,75 è 3/4.
Come si trova la generatrice di un decimale finito?
Si scrivono le cifre senza virgola al numeratore e al denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali, poi si semplifica.
Come si trova la generatrice di un periodico semplice?
Al numeratore il numero senza virgola meno la parte intera, al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Come si trova la generatrice di un periodico misto?
Al denominatore tanti 9 quante le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante quelle dell'antiperiodo; al numeratore il numero senza virgola meno la parte che non si ripete.
Perché al denominatore ci vanno proprio i 9?
Perché 1/9 vale 0,111…, 1/99 vale 0,0101… e così via: i numeri fatti di nove sono quelli che generano i periodi.
Quanto fa 0,999…?
Fa esattamente 1: applicando la regola si ottiene 9/9, cioè 1. Non è un numero vicino a uno, è uno.
La frazione generatrice va semplificata?
Sì, il risultato si dà sempre ridotto ai minimi termini.