Non è la divisione che sbaglia: è entrata in un ciclo
Fai 1 : 3 in colonna. Ottieni 0,3, poi un altro 3, poi un altro ancora. A un certo punto ti fermi e ti chiedi se stai sbagliando qualcosa.
Non stai sbagliando: quella divisione non finirà mai, e il motivo si vede guardando i resti.
1 : 3 → 10 : 3 = 3 con resto 1 → 10 : 3 = 3 con resto 1 → …
Il resto è tornato a essere 1, cioè esattamente quello di partenza. E se il resto è lo stesso, il passaggio successivo darà lo stesso quoziente e lo stesso resto, all’infinito.
Quando un resto si ripete, la divisione entra in un ciclo.
E i resti sono per forza pochi: dividendo per 3 possono valere solo 0, 1 o 2. Quindi o esce lo 0 (e la divisione finisce) oppure prima o poi un resto deve ripetersi. Non ci sono altre possibilità.
Ecco perché ogni frazione dà un decimale finito oppure periodico: sono gli unici due modi in cui una divisione può comportarsi.
Periodo e antiperiodo
- Il periodo è il gruppo di cifre che si ripete.
- L’antiperiodo sono le cifre fra la virgola e l’inizio del periodo, quelle che compaiono una volta sola.
Per scriverlo non si mettono i puntini all’infinito: si scrive il periodo una volta sola con una barretta sopra.
0,333… si scrive 0,3 con la barretta sul 3
0,1666… si scrive 0,16 con la barretta solo sul 6
La barretta va solo sul periodo, mai sull’antiperiodo. È l’errore di scrittura più comune del capitolo.
Su alcuni libri, e quando si scrive al computer, il periodo si indica anche fra parentesi tonde: 0,(3) al posto di 0,3 con la barretta, e 0,1(6) al posto di 0,16 con la barretta sul 6.
Semplici e misti
Periodico semplice: il periodo comincia subito dopo la virgola, senza antiperiodo.
0,333… · 0,272727… · 2,555…
Periodico misto: fra la virgola e il periodo c’è un antiperiodo.
0,1666… (antiperiodo 1) · 0,5833… (antiperiodo 58)
La distinzione non è pignoleria: serve perché le due famiglie hanno regole diverse quando si torna alla frazione generatrice.
E si può prevedere quale dei due tipi uscirà dalla scomposizione del denominatore:
- denominatore con solo fattori diversi da 2 e 5 → periodico semplice (1/3, 1/7, 1/11);
- denominatore con anche dei 2 o dei 5 → periodico misto (1/6 = 1/(2·3), 7/12).
L’antiperiodo nasce proprio dai fattori 2 e 5, che riescono a produrre le prime cifre “pulite” prima che il ciclo cominci.
Quanto può essere lungo un periodo
Il periodo non può essere lungo a piacere: c’è un limite, e viene ancora dai resti.
Il periodo ha al massimo una cifra in meno del divisore.
Dividendo per 3, i resti possibili sono 1 e 2, quindi il periodo ha al massimo 2 cifre. Dividendo per 7, i resti possibili sono sei, quindi il periodo arriva al massimo a sei cifre.
E infatti:
1/7 = 0,142857142857… → periodo di sei cifre, il massimo possibile
Prova a calcolare 2/7 e 3/7: escono le stesse sei cifre, solo cominciando da un punto diverso della sequenza. È lo stesso ciclo, imboccato in un altro momento.
Un numero periodico è esatto
C’è un’idea sbagliata da togliere di mezzo: 0,333… non è un’approssimazione di 1/3. È 1/3.
L’approssimazione è quando tronchi: 0,33 è un valore vicino, 0,333 è più vicino, ma nessuno dei due è esatto. Il numero con infiniti 3 invece coincide perfettamente con la frazione.
Questo ha una conseguenza pratica: nei calcoli conviene tenere la frazione e trasformare in decimale solo alla fine. Se arrotondi subito, gli errori si accumulano.
Se ti blocchi: guarda i resti, non le cifre
Quando fai una divisione e non sai quando fermarti, non guardare il quoziente: guarda i resti e scrivili a lato.
Appena un resto si ripete, hai finito: da quel punto le cifre ricominciano identiche, e quello che hai scritto in mezzo è il periodo.
1 : 6 → il primo resto è 1 e produce la cifra 1; il secondo è 4 e produce il 6; il terzo è di nuovo 4.
Il 4 si è ripetuto: fermati, il periodo è una cifra sola, e il numero è 0,16 periodico.
Se invece il resto arriva a zero, la divisione è finita e il decimale è finito.
Con questo metodo non ti capiterà più di riempire mezza riga di cifre chiedendoti se prima o poi si chiuderà.
✎ Esercizio svolto
Calcola 1/6 e indica periodo e antiperiodo. Di che tipo di periodico si tratta?
- Esegui la divisione 1 : 6 → 10 : 6 = 1 con resto 4 → 40 : 6 = 6 con resto 4 → il resto 4 si ripresenta.
- Riconosci il ciclo Da quando il resto si ripete, anche le cifre si ripetono: il quoziente è 0,1666…
- Separa periodo e antiperiodo La cifra 1 compare una volta sola: è l'antiperiodo. Il 6 si ripete all'infinito: è il periodo.
- Classifica e scrivi C'è un antiperiodo, quindi è un periodico misto. Si scrive 0,16 con la barretta solo sopra il 6.
Soluzione: 1/6 = 0,1666…: antiperiodo 1, periodo 6, periodico misto.
▶ Lo vedi nel gioco
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Domande frequenti
Che cos'è un numero decimale periodico?
Un numero con infinite cifre decimali in cui un gruppo di cifre si ripete sempre uguale, come 0,333… o 0,1666…
Che cos'è il periodo?
Il gruppo di cifre che si ripete all'infinito. Si indica scrivendolo una volta sola con una barretta sopra.
Che cos'è l'antiperiodo?
Le cifre che stanno fra la virgola e l'inizio del periodo e che non si ripetono. In 0,1666… l'antiperiodo è 1.
Qual è la differenza fra periodico semplice e misto?
Nel semplice il periodo comincia subito dopo la virgola, nel misto c'è prima un antiperiodo.
Perché una divisione diventa periodica?
Perché a un certo punto si ripresenta un resto già visto: da lì in poi le cifre del quoziente si ripetono nello stesso ordine.
Quanto può essere lungo un periodo?
Al massimo una cifra in meno del divisore: dividendo per 7 il periodo ha al massimo sei cifre, e infatti 1/7 = 0,142857…
Un numero periodico è un numero esatto?
Sì. 0,333… è esattamente 1/3: la frazione è solo un modo più corto e più preciso di scriverlo.