Due rapporti che dicono la stessa cosa
Una ricetta per 4 persone chiede 300 grammi di farina. Per 8 persone quanta ne serve?
La risposta la sai già: 600 grammi. E l’hai trovata senza formule, ragionando così: “se le persone raddoppiano, raddoppia anche la farina”.
Quel ragionamento ha un nome, e si scrive così:
4 : 300 = 8 : 600
Si legge “4 sta a 300 come 8 sta a 600”, e si chiama proporzione. Non è un nuovo tipo di calcolo: è il modo di scrivere una cosa che facevi già a intuito.
Il motivo per cui vale la pena scriverla è che così funziona anche quando l’intuito non basta. Per 7 persone quanta farina serve? Il doppio e la metà non aiutano, ma la proporzione sì.
Il rapporto
Prima delle proporzioni serve il mattone: il rapporto.
Il rapporto fra due numeri è il loro quoziente: a : b, oppure a/b.
Il rapporto fra 20 e 5 è 20 : 5 = 4. Vuol dire che 20 è quattro volte 5.
Nota che rapporto e frazione sono la stessa scrittura: cambia solo il contesto. Quando dici “3/4 di pizza” pensi a una parte, quando dici “il rapporto è 3 : 4” pensi a un confronto fra due quantità. Il numero è lo stesso.
Il primo numero si chiama antecedente, il secondo conseguente, e come in ogni divisione il conseguente non può essere zero.
Un dettaglio che nelle verifiche torna spesso: conta se le due grandezze sono uguali o diverse.
- Dividendo grandezze dello stesso tipo ottieni un numero puro, senza unità di misura: 10 cm : 2 cm = 5.
- Dividendo grandezze diverse crei una grandezza derivata: 120 km : 2 h = 60 km/h, cioè una velocità. Allo stesso modo nascono la densità (grammi su centimetri cubi) e tante altre misure.
La proporzione e i suoi termini
Una proporzione è l’uguaglianza fra due rapporti: a : b = c : d
Si legge “a sta a b come c sta a d”, e i quattro numeri hanno un nome a seconda della posizione:
- estremi: il primo e il quarto (a e d), quelli ai bordi;
- medi: il secondo e il terzo (b e c), quelli in mezzo.
In 3 : 4 = 9 : 12 gli estremi sono 3 e 12, i medi sono 4 e 9.
I nomi si ricordano dalla posizione: gli estremi stanno alle estremità, i medi in mezzo.
La proprietà fondamentale
Qui c’è tutto il capitolo in una riga:
Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
3 : 4 = 9 : 12 → estremi 3 · 12 = 36, medi 4 · 9 = 36
I due prodotti coincidono, quindi la proporzione è vera.
Perché funziona? Perché due rapporti uguali sono due frazioni equivalenti, e per passare dall’una all’altra si moltiplica sopra e sotto per lo stesso numero. Il prodotto in croce è proprio il controllo che quel numero esiste: è la stessa cosa che facevi per confrontare due frazioni con il prodotto in croce.
A cosa serve
La proprietà fondamentale fa due lavori, e sono i due tipi di esercizio che troverai.
Verificare se una proporzione è vera: moltiplichi i medi, moltiplichi gli estremi, confronti.
Trovare un termine mancante: se uno dei quattro numeri è incognito, la proprietà lo tira fuori con una moltiplicazione e una divisione. È il caso più frequente, e lo vedi in calcolare il termine incognito.
Le altre proprietà
Oltre alla fondamentale, ce ne sono altre che servono a riscrivere una proporzione senza cambiarne il valore.
Proprietà dell’invertire: si scambiano antecedenti e conseguenti.
da 3 : 4 = 9 : 12 si passa a 4 : 3 = 12 : 9
Proprietà del permutare i medi: si scambiano i due medi fra loro.
da 3 : 4 = 9 : 12 si passa a 3 : 9 = 4 : 12
Proprietà del permutare gli estremi: si scambiano i due estremi.
da 3 : 4 = 9 : 12 si passa a 12 : 4 = 9 : 3
Proprietà del comporre: la somma dei primi due sta al primo (o al secondo) come la somma degli altri due sta al terzo (o al quarto).
da 3 : 4 = 9 : 12 si passa a (3 + 4) : 3 = (9 + 12) : 9, cioè 7 : 3 = 21 : 9
Proprietà dello scomporre: funziona uguale con la differenza, purché il primo termine di ogni coppia sia il maggiore.
da 9 : 4 = 18 : 8 si passa a (9 − 4) : 4 = (18 − 8) : 8, cioè 5 : 4 = 10 : 8
Servono soprattutto a spostare l’incognita dove ti fa comodo: se il numero da trovare è in una posizione scomoda, con una permutazione lo porti dove sai gestirlo.
Dove le incontri fuori dai compiti
Le proporzioni non restano nel quaderno: sono uno degli strumenti più usati fuori dalla scuola.
- Le ricette: da 4 persone a 6, gli ingredienti si ricalcolano con una proporzione.
- Le mappe: la scala 1 : 100.000 dice che 1 cm sulla carta è 100.000 cm nella realtà, cioè 1 km.
- Le percentuali: dire 20% significa scrivere 20 : 100, e ogni problema di percentuale è una proporzione travestita.
- Gli ingrandimenti: una foto che passa da 10 × 15 a 20 × 30 mantiene lo stesso rapporto fra i lati.
Se ti blocchi: scrivi le grandezze sopra i numeri
L’errore più frequente nelle proporzioni non è di calcolo: è mettere i numeri nell’ordine sbagliato.
Il rimedio è scrivere sopra ogni numero che cosa rappresenta, prima ancora di calcolare:
persone farina persone farina
4 : 300 = 8 : x
Adesso si vede che le due colonne sono coerenti: persone con persone, farina con farina. Se le avessi incrociate, la proporzione sarebbe sbagliata anche facendo i conti giusti.
Regola pratica: stesse grandezze nelle stesse posizioni. Antecedenti dello stesso tipo, conseguenti dello stesso tipo.
✎ Esercizio svolto
Verifica se 3 : 4 = 9 : 12 è una proporzione. Poi scrivi il rapporto fra 20 e 5 e riducilo ai minimi termini.
- Individua medi ed estremi Gli estremi sono 3 e 12 (i due esterni), i medi sono 4 e 9 (i due interni).
- Applica la proprietà fondamentale Prodotto degli estremi: 3 · 12 = 36. Prodotto dei medi: 4 · 9 = 36.
- Concludi I due prodotti sono uguali, quindi è una proporzione vera.
- Calcola il rapporto 20 : 5 = 4. Come frazione è 20/5, che ridotta ai minimi termini dà 4/1, cioè 4.
Soluzione: 3 : 4 = 9 : 12 è una proporzione (36 = 36); il rapporto fra 20 e 5 vale 4.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
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Domande frequenti
Che cos'è un rapporto?
Il quoziente fra due numeri, che si scrive a : b oppure come frazione a/b. Il rapporto fra 20 e 5 vale 4.
Che cos'è una proporzione?
Un'uguaglianza fra due rapporti, come 3 : 4 = 9 : 12. Si legge "3 sta a 4 come 9 sta a 12".
Quali sono i medi e gli estremi?
Gli estremi sono il primo e il quarto termine, i medi sono il secondo e il terzo.
Che cos'è la proprietà fondamentale delle proporzioni?
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Serve a verificarla e a trovare un termine mancante.
Come si verifica se una proporzione è vera?
Si moltiplicano i due estremi e i due medi: se i due prodotti coincidono, la proporzione è vera.
Che differenza c'è tra rapporto e frazione?
Sono la stessa scrittura: a : b e a/b indicano lo stesso quoziente. Cambia solo il contesto in cui si usano.
A cosa servono le proporzioni?
A risolvere i problemi in cui due grandezze crescono insieme: ricette, scale delle mappe, percentuali, ingrandimenti.