Una mossa sola, in qualunque posizione stia l’incognita
I libri presentano due regole:
Un estremo incognito = prodotto dei medi diviso l’altro estremo.
Un medio incognito = prodotto degli estremi diviso l’altro medio.
Sembrano due cose da ricordare, e c’è il rischio di scambiarle. In realtà sono la stessa mossa, e si può dire in una frase sola:
Moltiplica i due numeri che stanno dalla parte opposta all’incognita, poi dividi per il terzo.
Guarda la proporzione, copri con il dito il posto dell’incognita e vedi quali due numeri restano “dall’altra parte”: sono quelli da moltiplicare. Il quarto è quello per cui dividere.
Non serve ricordare se l’incognita è un medio o un estremo: basta guardare dove sta.
Come funziona
La regola viene direttamente dalla proprietà fondamentale: prodotto dei medi uguale prodotto degli estremi.
3 : 4 = x : 20
Gli estremi sono 3 e 20, i medi sono 4 e x. La proprietà dice:
4 · x = 3 · 20 = 60
Quindi x = 60 : 4 = 15.
Non c’è nessuna magia: hai scritto un’uguaglianza e hai fatto la divisione per isolare la x. È lo stesso ragionamento che in terza media diventerà un’equazione.
I quattro casi
Comunque sia messa l’incognita, il conto è sempre “moltiplica gli altri due che si guardano, dividi per il rimasto”.
| Proporzione | x è | Calcolo |
|---|---|---|
| x : 4 = 9 : 12 | estremo | (4 · 9) : 12 = 3 |
| 3 : x = 9 : 12 | medio | (3 · 12) : 9 = 4 |
| 3 : 4 = x : 12 | medio | (3 · 12) : 4 = 9 |
| 3 : 4 = 9 : x | estremo | (4 · 9) : 3 = 12 |
Guarda la colonna del calcolo: in tutte e quattro le righe si moltiplicano i due numeri che non stanno vicino alla x nella stessa coppia, e si divide per quello che resta.
Il controllo che non costa niente
Trovato il numero, rimettilo dentro e verifica la proporzione.
x = 15 → 3 : 4 = 15 : 20
estremi: 3 · 20 = 60 · medi: 4 · 15 = 60 ✓
Cinque secondi, e sei sicuro. È un controllo che vale la pena fare sempre, perché l’errore tipico non è nel calcolo ma nella posizione: si moltiplicano i due numeri sbagliati e il risultato viene comunque un numero credibile.
Il medio proporzionale
C’è un caso particolare in cui l’incognita compare due volte, nei due posti in mezzo:
4 : x = x : 9
Qui la proprietà fondamentale dà x · x = 4 · 9 = 36, cioè x² = 36.
Per tornare da x² a x serve la radice quadrata:
x = √36 = 6
Quel numero si chiama medio proporzionale fra 4 e 9. Ed ecco un motivo in più per cui le radici quadrate si studiano in seconda media: senza, questo tipo di proporzione resterebbe irrisolvibile.
Dai problemi alla proporzione
La parte difficile degli esercizi non è il calcolo: è scrivere la proporzione giusta.
Se 4 quaderni costano 6 €, quanto costano 10 quaderni?
Il metodo sicuro è mettere le etichette prima dei numeri:
quaderni euro quaderni euro
4 : 6 = 10 : x
Ora si vede che l’ordine è coerente: quaderni con quaderni negli antecedenti, euro con euro nei conseguenti. Se avessi scritto 4 : 6 = x : 10 avresti incrociato le grandezze e il risultato sarebbe stato sbagliato.
x = (6 · 10) : 4 = 15 €
Attenzione: non tutto è proporzionale
C’è un tranello nei problemi, e vale la pena conoscerlo.
La proporzione funziona quando le due grandezze crescono insieme e nella stessa misura: doppio di quaderni, doppio di spesa. Si dice che sono direttamente proporzionali.
Ma non è sempre così. Se 1 operaio costruisce un muro in 10 giorni, 2 operai non ci metteranno 20 giorni: ce ne metteranno 5. Qui una grandezza cresce e l’altra cala, e la proporzione va scritta al contrario.
Il controllo da fare prima di calcolare: se il primo numero aumenta, il secondo deve aumentare o diminuire? Se deve diminuire, non impostare la proporzione diretta.
Se ti blocchi: copri l’incognita con il dito
Il metodo pratico, quando la regola non ti torna:
Uno. Metti il dito sopra la x.
Due. Dei tre numeri rimasti, due formano una coppia completa: o i due medi (quelli centrali) o i due estremi (quelli ai bordi). Moltiplica la coppia completa.
Tre. Il numero rimasto da solo è il “compagno” della x, cioè quello nella sua stessa coppia: è il divisore.
Se preferisci scrivere la proporzione come frazioni, , la stessa mossa si chiama moltiplicazione a croce: lì i due numeri da moltiplicare si guardano davvero in diagonale.
Quattro. Rimetti dentro il risultato e controlla i due prodotti.
Funziona in tutti e quattro i casi, senza dover ricordare la differenza fra medi ed estremi.
✎ Esercizio svolto
Trova x nella proporzione 3 : 4 = x : 20. Poi risolvi: se 4 quaderni costano 6 €, quanto costano 10 quaderni?
- Individua la posizione dell'incognita In 3 : 4 = x : 20 l'incognita è un medio (è il terzo termine). Gli estremi sono 3 e 20, l'altro medio è 4.
- Applica la regola x = (prodotto degli estremi) : medio noto = (3 · 20) : 4 = 60 : 4 = 15.
- Imposta il problema dei quaderni Scrivi le grandezze in colonna: quaderni con quaderni, euro con euro. Quindi 4 : 6 = 10 : x.
- Risolvi e controlla x = (6 · 10) : 4 = 60 : 4 = 15 €. Ha senso: 10 quaderni sono più del doppio di 4, e 15 € è più del doppio di 6 €.
Soluzione: x = 15; dieci quaderni costano 15 €.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Come si calcola il termine incognito di una proporzione?
Si moltiplicano i due termini noti che stanno dalla parte opposta all'incognita e si divide per il terzo.
Come si trova un estremo incognito?
Si moltiplicano i due medi e si divide per l'estremo noto.
Come si trova un medio incognito?
Si moltiplicano i due estremi e si divide per il medio noto.
Che cos'è il quarto proporzionale?
Il quarto termine di una proporzione, quando sono noti gli altri tre. Si calcola con la proprietà fondamentale.
Che cos'è il medio proporzionale?
Il numero che compare due volte come medio, come in 4 : x = x : 9. Si trova con la radice quadrata del prodotto degli estremi, quindi x = 6.
Come controllo se il risultato è giusto?
Si rimette il numero trovato nella proporzione e si verifica che il prodotto dei medi sia uguale a quello degli estremi.
Come si imposta una proporzione partendo da un problema?
Si scrivono le grandezze nello stesso ordine nei due rapporti: stessa grandezza negli antecedenti e stessa grandezza nei conseguenti.